Determine:
a) A Rede de Petri marcada.
b) Matriz de incidência.
c) Determine a árvore de alcançabilidade a partir de mo.
d) Verifique se é possível executar a seguinte sequência de disparos: t_{1} t_{2} t_{4} t_{1} t_{2} t_{4} t_{1} t_{2} t_{4} t_{0}. Caso seja possível, encontre a marcação alcançada após os disparos.
e) A marcação m=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]^{\top} é alcançável? Justifique.
f) Discuta se a rede é limitada e segura.
g) Discuta se a rede é viva.
h) EmPR, se \operatorname{Pos}\left(\mathrm{t}_{4}, \mathrm{p}_{4}\right)=2, encontre a árvore de alcançabilidade.
Passo 1
O enunciado nos dá uma Rede de Petri ordinária \mathit{PR}=(P,T,A,W,m_{0}) com P=\{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\}, T=\{t_{0},t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}\},
arcos
Precisamos determinar:
a) a própria rede marcada (pre/post-incidências e m_{0});
b) a matriz de incidência C;
c) a árvore de alcançabilidade a partir de m_{0};
d) se a sequência t_{1}\,t_{2}\,t_{4}\,t_{1}\,t_{2}\,t_{4}\,t_{1}\,t_{2}\,t_{4}\,t_{0} é executável e, em caso afirmativo, sua marcação resultante;
e) se m=[1\;0\;1\;1]^{\top} é alcançável;
f) se a rede é limitada e segura;
g) se a rede é viva;
h) supondo agora W(t_{4},p_{4})=2, refazer a árvore de alcançabilidade.
Passo 2
Construímos as matrizes de pré-incidência \mathit{Pre} e pós-incidência \mathit{Post}. Indexamos as linhas por p_{1},p_{2},p_{3},p_{4} e as colunas por t_{0},t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}.
faz três voltas no ciclo t_{1}t_{2}t_{4} (retornando a m_{0}) e depois dispara t_{0}, chegando a
m = m_{0} + 3\,(C(:,t_{1})+C(:,t_{2})+C(:,t_{4})) + C(:,t_{0}) = (0,0,0,2).
Como todos os disparos no caminho são possíveis, \sigma é executável e produz \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.
Passo 6
As marcações alcançadas são apenas m_{0},m_{1},m_{2},m_{3}. A marcação \displaystyle m=(1,0,1,1)^{\top} não aparece nesse conjunto, logo não é alcançável.
Passo 7
No conjunto de todas as marcações alcançadas, nenhum lugar ultrapassa 2 tokens, logo a rede é limitada. Mas como em m_{0} há 2 tokens em p_{4}, ela não é segura (segura exigiria no máximo 1 token em cada lugar).
Passo 8
A rede não é viva, pois existe a marcação m_{1}=(0,0,0,2) em que nenhuma transição está habilitada. Além disso, t_{0} dispara uma vez e leva ao modo morto.
Passo 9
Se mudamos o peso de (t_{4},p_{4}) para 2, então cada disparo de t_{4} em vez de devolver 1 token a p_{4} devolve 2. No ciclo t_{1}t_{2}t_{4} esse lugar cresce indefinidamente, gerando uma árvore de alcançabilidade infinita. Em particular, os nós sucessivos têm marcações