1. Considere uma região limitada preenchida com um campo \vec{B} uniforme que entra perpendicularmente um plano horizontal. Sobre a região colocamos uma espira retangular de largura L com sua área interna paralela ao plano. Ela está parcialmente dentro do campo uniforme. Uma força aplicada paralelamente ao plano puxa para direita a espira para fora do campo. Seja \vec{v} a velocidade com que a espira sai do campo. O fio da espira possui uma resistência R.
    a) Calcule a potência que essa força armazena no sistema.
    b) Calcule a potência dissipada por uma resistência R.

Passo 1

O enunciado descreve uma espira retangular de largura L que está saindo com velocidade constante \vec{v} de uma região onde existe um campo magnético uniforme \vec{B} perpendicular a um plano. O fio tem resistência R. Precisamos usar o conceito de força eletromotriz induzida (Lei de Faraday), calcular a corrente induzida e a força magnética de Laplace que se opõe ao movimento, e então obter as potências (mecânica fornecida pela força externa e dissipada em R).

Passo 2

Definimos x(t) como o comprimento da espira ainda imerso no campo. O fluxo magnético que atravessa a espira é
\Phi(t) = B \times (\text{área imersa}) = B\,L\,x(t).á
Como a espira sai com velocidade constante v, temos \dot x = -v em módulo e a variação de fluxo em módulo é
\bigl|\dot\Phi\bigr| = B\,L\,\bigl|\dot x\bigr| = B\,L\,v.

Passo 3

Pela Lei de Faraday, a força eletromotriz induzida (em módulo) é
\mathcal{E} = \bigl|\dot\Phi\bigr| = B\,L\,v.

Passo 4

A corrente induzida que circula na espira, em módulo, é
I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B\,L\,v}{R}.

Passo 5

Cada lado da espira de comprimento L imerso no campo sofre força de Laplace de módulo
F_{\rm mag} = I\,L\,B = \frac{B\,L\,v}{R}\;L\,B = \frac{B^{2}L^{2}v}{R}.
Para manter velocidade constante, a força externa deve equilibrar essa força magnética:
F_{\rm ext} = F_{\rm mag}.

Passo 6

A potência mecânica fornecida pela força externa é
P_{\rm ext} = F_{\rm ext}\,v = \frac{B^{2}L^{2}v}{R}\;v = \frac{B^{2}L^{2}v^{2}}{R}.

Passo 7

A potência dissipada na resistência R (efeito Joule) é
P_{R} = I^{2}\,R = \Bigl(\frac{B\,L\,v}{R}\Bigr)^{2}R = \frac{B^{2}L^{2}v^{2}}{R}.

Resposta

a) P_{\rm ext} = \dfrac{B^{2}L^{2}v^{2}}{R}.
b) P_{R} = \dfrac{B^{2}L^{2}v^{2}}{R}.

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