Considere uma representação de ponto flutuante com
e
. Qual dos procedimentos abaixo é melhor? Comente.
(b) Faça a conta acima utilizando a identidade
(b) Faça a conta acima utilizando a identidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar uma representação de ponto flutuante com
,
e
. A gente precisa usar a identidade
para resolver a conta. Basicamente, estamos lidando com aritmética de ponto flutuante e vendo qual método é melhor para calcular a diferença das raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ponto flutuante com esses parâmetros. Aqui,
indica que temos 5 dígitos significativos,
é a base decimal, e
significa que o expoente pode variar de -10 a 10. Isso define como os números são representados e quais são as possíveis imprecisões na hora de fazer cálculos.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a identidade que o exercício quer que a gente use:
Essa identidade é útil porque, em cálculos numéricos, especialmente com ponto flutuante, subtrair raízes pode levar a erros de cancelamento, onde a precisão diminui. Usando a identidade, a gente evita essa subtração direta e melhora a precisão do resultado.
Passo 4
Vamos imaginar que temos calcular
diretamente. Com
, podemos ter imprecisões nos valores de
e
. Quando subtrai esses valores, as últimas casas decimais podem se perder, resultando em um erro maior.
Passo 5
Agora, usando a identidade, calculamos
. Aqui, ao invés de subtrair diretamente as raízes, a gente primeiro calcula
e
. Como estamos somando as raízes, a perda de precisão é menor comparada à subtração. Então, o resultado final tende a ser mais preciso.
Passo 6
Vamos ver um exemplo rápido. Suponha que
e
:
- Calculando diretamente:
- Usando a identidade:
Embora nesse caso simples ambos os métodos deem o mesmo resultado, em números maiores ou mais complicados, o método da identidade ajuda a reduzir erros de arredondamento.
Resposta
Usar a identidade
é melhor para cálculos em ponto flutuante com
,
e
, pois minimiza erros de arredondamento e aumenta a precisão do resultado final.