Considere uma representação de ponto flutuante com t=5, beta=10 e |e| <=q 10. Qual dos procedimentos abaixo é melhor? Comente.
(b) Faça a conta acima utilizando a identidade
raizx-raizy=x-yraizx+raizy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar uma representação de ponto flutuante com , e . A gente precisa usar a identidade para resolver a conta. Basicamente, estamos lidando com aritmética de ponto flutuante e vendo qual método é melhor para calcular a diferença das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ponto flutuante com esses parâmetros. Aqui, indica que temos 5 dígitos significativos, é a base decimal, e significa que o expoente pode variar de -10 a 10. Isso define como os números são representados e quais são as possíveis imprecisões na hora de fazer cálculos.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a identidade que o exercício quer que a gente use:
raizx - raizy = x - yraizx + raizy
Essa identidade é útil porque, em cálculos numéricos, especialmente com ponto flutuante, subtrair raízes pode levar a erros de cancelamento, onde a precisão diminui. Usando a identidade, a gente evita essa subtração direta e melhora a precisão do resultado.

Passo 4

Vamos imaginar que temos calcular diretamente. Com , podemos ter imprecisões nos valores de e . Quando subtrai esses valores, as últimas casas decimais podem se perder, resultando em um erro maior.

Passo 5

Agora, usando a identidade, calculamos . Aqui, ao invés de subtrair diretamente as raízes, a gente primeiro calcula e . Como estamos somando as raízes, a perda de precisão é menor comparada à subtração. Então, o resultado final tende a ser mais preciso.

Passo 6

Vamos ver um exemplo rápido. Suponha que e :
  • Calculando diretamente:
  • Usando a identidade:
    Embora nesse caso simples ambos os métodos deem o mesmo resultado, em números maiores ou mais complicados, o método da identidade ajuda a reduzir erros de arredondamento.

Resposta

Usar a identidade é melhor para cálculos em ponto flutuante com , e , pois minimiza erros de arredondamento e aumenta a precisão do resultado final.

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