Considere a reta
r: x-2 y+5=0
(a) Determine a reta s que passa pelo ponto P=(1,3) e é perpendicular a r.
(b) Determine o ponto de interseção entre r e s.
(c) Interprete geometricamente esse ponto no contexto da relação entre uma reta e sua perpendicular por um ponto dado.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: x-2y+5=0
e o ponto
P=(1,3).
O que se pede:
  • (a) determinar a reta s que passa por P e é perpendicular a r;
  • (b) determinar o ponto de interseção entre r e s;
  • (c) interpretar geometricamente esse ponto no contexto da relação entre uma reta e sua perpendicular por um ponto dado.

Passo 2

Vamos obter a inclinação (coeficiente angular) da reta r, porque isso é essencial para achar a perpendicular. Para isso isolamos y em r:
x-2y+5=0 \quad\Rightarrow\quad -2y=-x-5 \quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{5}{2}.
Da expressão acima vemos que o coeficiente angular de r é
m_r=\tfrac{1}{2}.
Explicação do conceito usado: o coeficiente angular m de uma reta na forma y=mx+b mede quanto y sobe quando x aumenta de uma unidade (o famoso “rise over run”). Duas retas não verticais são perpendiculares se e somente se os seus coeficientes angulares m e m' satisfazem
m\cdot m'=-1.
Isso vem da relação entre tangentes dos ângulos que as retas fazem com o eixo x: se um ângulo é somado de 90^\circ a outro, as tangentes têm produto -1.

Passo 3

Usando m_r=\tfrac{1}{2}, o coeficiente angular da reta perpendicular é
m_s=-\frac{1}{m_r}=-2.
Agora usamos a forma ponto-inclinação da reta que passa por P=(1,3):
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo x_0=1, y_0=3 e m=-2 obtemos
y-3=-2(x-1).
Expandindo:
y-3=-2x+2 \quad\Rightarrow\quad y=-2x+5.
Em forma padrão isso é
2x+y-5=0.
Portanto a reta s é y=-2x+5 (ou 2x+y-5=0).

Passo 4

Para encontrar a interseção entre r\) e \(s\) resolvemos o sistema \[\begin{cases} x-2y+5=0,\\[4pt] y=-2x+5. \end{cases}
Substituindo a expressão de y\] da segunda equação na primeira: \[x-2(-2x+5)+5=0.\] Calcule passo a passo: \[x+4x-10+5=0 \quad\Rightarrow\quad 5x-5=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.\] Então \[y=-2(1)+5=3.\] Logo o ponto de interseção é \((1,3).]

Passo 5

Verificação importante: substituindo P=(1,3) na equação de r temos
1-2\cdot3+5=1-6+5=0,
portanto P pertence à reta r. Geometricamente isso explica o resultado: a perpendicular a r que passa por P intercepta r exatamente em P. Em termos de projeção ortogonal, o pé da perpendicular (ponto da reta r mais próximo de P) é P quando P já está em r; a distância mais curta é zero. A reta perpendicular por um ponto sobre a reta é única e corta a reta no próprio ponto.

Resposta

(a) s: y=-2x+5 (ou 2x+y-5=0).
(b) (1,3).
(c) É o próprio ponto P; como P pertence a r, a perpendicular por P intersecta r em P — o pé da perpendicular (projeção ortogonal) coincide com P.