Considere a reta
(a) Determine a reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular a
.
(b) Determine o ponto de interseção entre
e
.
(c) Interprete geometricamente esse ponto no contexto da relação entre uma reta e sua perpendicular por um ponto dado.
(b) Determine o ponto de interseção entre
(c) Interprete geometricamente esse ponto no contexto da relação entre uma reta e sua perpendicular por um ponto dado.
Passo 1
O enunciado dá a reta
e o ponto
O que se pede:
- (a) determinar a reta
que passa por e é perpendicular a ; - (b) determinar o ponto de interseção entre
e ; - (c) interpretar geometricamente esse ponto no contexto da relação entre uma reta e sua perpendicular por um ponto dado.
Passo 2
Vamos obter a inclinação (coeficiente angular) da reta
, porque isso é essencial para achar a perpendicular. Para isso isolamos
em
:
Da expressão acima vemos que o coeficiente angular de
é
Explicação do conceito usado: o coeficiente angular
de uma reta na forma
mede quanto
sobe quando
aumenta de uma unidade (o famoso “rise over run”). Duas retas não verticais são perpendiculares se e somente se os seus coeficientes angulares
e
satisfazem
Isso vem da relação entre tangentes dos ângulos que as retas fazem com o eixo
: se um ângulo é somado de
a outro, as tangentes têm produto
.
Passo 3
Usando
, o coeficiente angular da reta perpendicular é
Agora usamos a forma ponto-inclinação da reta que passa por
:
Substituindo
,
e
obtemos
Expandindo:
Em forma padrão isso é
Portanto a reta
é
(ou
).
Passo 4
Para encontrar a interseção entre
Substituindo a expressão de
.]
Passo 5
Verificação importante: substituindo
na equação de
temos
portanto
pertence à reta
. Geometricamente isso explica o resultado: a perpendicular a
que passa por
intercepta
exatamente em
. Em termos de projeção ortogonal, o pé da perpendicular (ponto da reta
mais próximo de
) é
quando
já está em
; a distância mais curta é zero. A reta perpendicular por um ponto sobre a reta é única e corta a reta no próprio ponto.
Resposta
(a)
(ou
).
(b) .
(c) É o próprio ponto ; como
pertence a
, a perpendicular por
intersecta
em
— o pé da perpendicular (projeção ortogonal) coincide com
.
(b)
(c) É o próprio ponto