Considere as retas paralelas
(a) Determine a equação do plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
Passo 1
Beleza! A gente precisa achar a equação de um plano que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
. Isso envolve conceitos de geometria no espaço tridimensional, como vetores diretores e equações de planos. Vamos precisar identificar o vetor que define a direção da reta e usar isso para encontrar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação da reta
:
Aqui, o vetor
é o vetor diretor da reta
. Esse vetor mostra a direção em que a reta está “andando”.
Passo 3
Agora, como o plano
é perpendicular à reta
, o vetor diretor da reta
será o vetor normal do plano. Ou seja, o vetor normal
do plano é
. O vetor normal é crucial porque define a orientação do plano no espaço.
Passo 4
A equação geral de um plano no espaço é dada por:
onde
é o vetor normal ao plano e
é um ponto pelo qual o plano passa. No nosso caso, o vetor normal é
e o ponto pelo qual o plano passa é
.
Passo 5
Vamos substituir esses valores na equação geral do plano:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos expandir e simplificar a equação:
Juntando os termos semelhantes:
E isolando para deixar a equação na forma padrão:
Resposta
A equação do plano
é
.