Considere a seguinte equação de uma cônica em coordenadas polares:
r=62+3 cos theta
Escreva a equação da cônica em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica em coordenadas polares:
r = 62 + 3 cos theta
Nosso objetivo aqui é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas, como e .

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois lados da equação por r (2 + 3 cos theta) = 6 para eliminar o denominador:

Passo 3

Agora, distribuímos o 2r + 3r cos theta = 6 dentro dos parênteses:

Passo 4

Lembrando que 2r + 3x = 6 , substituímos na equação:

Passo 5

Precisamos expressar tudo em termos de 2raizx^2 + y^2 + 3x = 6 e . Sabemos que . Vamos substituir na equação:

Passo 6

Vamos isolar o termo com a raiz quadrada:
2raizx^2 + y^2 = 6 - 3x

Passo 7

Agora, dividimos ambos os lados por 2:
raizx^2 + y^2 = 6 - 3x2

Passo 8

Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 = (6 - 3x2)^2

Passo 9

Calculamos o quadrado do lado direito:
x^2 + y^2 = (6 - 3x)^24 = 36 - 36x + 9x^24

Passo 10

Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
4x^2 + 4y^2 = 36 - 36x + 9x^2

Passo 11

Reagrupamos os termos para levar tudo para um lado da equação:
4x^2 + 4y^2 - 36 + 36x - 9x^2 = 0

Passo 12

Simplificamos os termos semelhantes:
-5x^2 + 4y^2 + 36x - 36 = 0

Passo 13

Para deixar a equação mais organizada, podemos multiplicar todos os termos por -1:
5x^2 - 4y^2 - 36x + 36 = 0

Passo 14

Finalmente, podemos reescrever a equação em coordenadas cartesianas:
5x^2 - 4y^2 - 36x + 36 = 0

Resposta

A equação da cônica em coordenadas cartesianas é:
5x^2 - 4y^2 - 36x + 36 = 0

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