Considere o seguinte histórico de um processamento térmico hipotético (Tabela 1) utilizado para garantir a esterilidade comercial de um determinado produto alimentício. Neste caso, a indústria não dispõe de um trocador de calor contínuo que promova um aquecimento instantâneo em todas as partes do alimento. Partindo-se do pressuposto que o fator termodegradável presente neste alimento é um micro-organismo com valor-Z = 8,2^circ C. Determine:
a temperatura do processo térmico equivalente, caso o aquecimento fosse realizado instantaneamente e o trocador de calor utilizado permitisse um tempo de residência fixo de 52 s .
Tabela 1. Histórico do processamento térmico hipotético de um alimento, o qual o fator termodegradável apresenta um valor-Z =8,2^circ C.
Tempo (min) Temperatura ll hline Tempo (min) & Temperatura $( ^circ C)$ hline 0 & 39,7 4,8 & 48,5 9,4 & 56 14,9 & 71 20,75 & 78,5 25,1 & 90 29,7 & 95 34,6 & 101 40 & 105,5 44,5 & 108,8 50,01 & 111,5 54 & 113,7 58,9 & 115,5 64,8 & 118 71 & 118 75,2 & 118 80 & 107,8
0 39,7
4,8 48,5
9,4 56
14,9 71
20,75 78,5
25,1 90
29,7 95
34,6 101
40 105,5
44,5 108,8
50,01 111,5
54 113,7
58,9 115,5
64,8 118
71 118
75,2 118
80 107,8

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um histórico de processamento térmico de um alimento, ou seja, uma tabela que mostra como a temperatura varia ao longo do tempo durante o aquecimento. O objetivo aqui é determinar a temperatura equivalente do processo térmico se o aquecimento fosse feito de forma instantânea, usando um trocador de calor que mantém um tempo de residência fixo de 52 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Fator Z ( Z): Representa a sensibilidade de um micro-organismo à variação de temperatura durante o aquecimento. No nosso caso, Z = 8,2^circC.
  • Temperatura Equivalente: É uma temperatura única que, aplicada durante um tempo fixo, proporciona o mesmo efeito estéril que o histórico de aquecimento real.
Vamos lá resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a lethality do processo térmico real. A lethality (ou letalidade) é uma medida que combina o tempo e a temperatura para avaliar a eficácia do aquecimento na eliminação de micro-organismos.
A fórmula para a lethality ( L) é:
L = sumi=1^n ti times 10^(Ti - Tref)Z
Onde:
  • ti = tempo em segundos na temperatura Ti
  • Tref = temperatura de referência, que geralmente é a temperatura mínima para a inativação do micro-organismo. Neste caso, consideraremos Tref = 60^circC (valor comum, mas pode variar conforme o micro-organismo).
Vamos calcular cada parte dessa soma usando os dados da tabela.

Passo 3

Vamos organizar a tabela com os tempos em segundos e as temperaturas correspondentes:
Tempo (s) Temperatura ( ^circC)
0 39,7
288 48,5
564 56
894 71
1245 78,5
1506 90
1782 95
2076 101
2400 105,5
2670 108,8
3001 111,5
3240 113,7
3560 115,5
3888 118
4260 118
4512 118
4800 107,8
(Note: Converti os minutos para segundos multiplicando por 60.)

Passo 4

Agora, vamos calcular o termo 10^(Ti - Tref)Z para cada temperatura:
Usando Tref = 60^circC e Z = 8,2^circC:
Por exemplo, para Ti = 48,5^circC:
10^(48,5 - 60)8,2 = 10^-1,3829 approx 0,0414
Fazemos isso para todas as temperaturas.

Passo 5

Vamos montar uma nova coluna na tabela com os valores calculados:
Tempo (s) Temperatura ( ^circC) 10^(Ti - Tref)Z
0 39,7 10^(39,7 - 60)8,2 approx 0,002
288 48,5 0,0414
564 56 10^(56 - 60)8,2 approx 0,814
894 71 10^(71 - 60)8,2 approx 2,227
1245 78,5 10^(78,5 - 60)8,2 approx 5,456
1506 90 10^(90 - 60)8,2 approx 13,342
1782 95 10^(95 - 60)8,2 approx 25,118
2076 101 10^(101 - 60)8,2 approx 59,948
2400 105,5 10^(105,5 - 60)8,2 approx 97,723
2670 108,8 10^(108,8 - 60)8,2 approx 149,454
3001 111,5 10^(111,5 - 60)8,2 approx 226,752
3240 113,7 10^(113,7 - 60)8,2 approx 289,299
3560 115,5 10^(115,5 - 60)8,2 approx 377,489
3888 118 10^(118 - 60)8,2 approx 660,694
4260 118 660,694
4512 118 660,694
4800 107,8 10^(107,8 - 60)8,2 approx 183,154

Passo 6

Agora, multiplicamos cada tempo pelo correspondente 10^(Ti - Tref)Z:
Tempo (s) 10^(Ti - Tref)Z Produto ti times 10^(Ti - Tref)Z
0 0,002 0 times 0,002 = 0
288 0,0414 288 times 0,0414 approx 11,923
564 0,814 564 times 0,814 approx 459,096
894 2,227 894 times 2,227 approx 1986,418
1245 5,456 1245 times 5,456 approx 6783,52
1506 13,342 1506 times 13,342 approx 20100,672
1782 25,118 1782 times 25,118 approx 44700,116
2076 59,948 2076 times 59,948 approx 124287,648
2400 97,723 2400 times 97,723 approx 234, (aprox)
2670 149,454 2670 times 149,454 approx 399, (aprox)
3001 226,752 3001 times 226,752 approx 680, (aprox)
3240 289,299 3240 times 289,299 approx 936, (aprox)
3560 377,489 3560 times 377,489 approx 1,341, (aprox)
3888 660,694 3888 times 660,694 approx 2,569, (aprox)
4260 660,694 4260 times 660,694 approx 2,817, (aprox)
4512 660,694 4512 times 660,694 approx 2,980, (aprox)
4800 183,154 4800 times 183,154 approx 878, (aprox)
(Note: Para simplificação, arredondei alguns valores. Em um cálculo preciso, você usaria todas as casas decimais.)

Passo 7

Agora, somamos todos esses produtos para obter a lethality total do processo térmico real:
L = 0 + 11,923 + 459,096 + 1986,418 + 6783,52 + 20100,672 + 44700,116 + 124287,648 + 234 + 399 + 680 + 936 + 1341 + 2569 + 2817 + 2980 + 878 approx 208,006 segundos

Passo 8

Queremos encontrar a temperatura equivalente ( Teq) que, aplicada durante 52 segundos, forneça a mesma lethality do processo real. Usamos a fórmula:
L = teq times 10^(Teq - Tref)Z
Sabemos que L approx 208,006 s e teq = 52 s. Vamos isolar 10^(Teq - Tref)Z:
10^(Teq - Tref)Z = Lteq = 208,00652 approx 4,0001

Passo 9

Agora, vamos resolver para Teq:
(Teq - Tref)Z = log10(4,0001)
Calculando o logaritmo:
log10(4,0001) approx 0,6021
Multiplicando ambos os lados por Z:
Teq - Tref = Z times 0,6021 = 8,2 times 0,6021 approx 4,93^circC
Finalmente, somamos Tref:
Teq = Tref + 4,93 approx 60 + 4,93 = 64,93^circC

Resposta

A temperatura equivalente do processo térmico, com aquecimento instantâneo e tempo de residência fixo de 52 segundos, é aproximadamente 64,93°C.

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