Considere a seguinte operação binária * sobre M_{2}(\mathbb{Z}), dada por:
\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right) *\left(\begin{array}{ll} u & v \\\ w & x \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} b+v & 0 \\\\ 0 & c+w \end{array}\right) .
Mostre que * é comutativa mas não é associativa.

Passo 1

O enunciado dá a operação binária * sobre M_{2}(\mathbb{Z}) definida por
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}u & v \\\ w & x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b+v & 0 \\[4pt] 0 & c+w\end{pmatrix}.
O que se pede:
  • Mostrar que * é comutativa (isto é, para quaisquer matrizes A,B vale A*B=B*A).
  • Mostrar que * não é associativa (isto é, encontrar A,B,C tais que (A*B)*C \neq A*(B*C)).
Todas as entradas a,b,c,d,u,v,w,x são inteiros, pois estamos em M_{2}(\mathbb{Z}).]

Passo 2

Definição e estratégia para comutatividade.
Uma operação binária * é comutativa se, para todo A,B\in M_{2}(\mathbb{Z}),
A*B = B*A.
Para provar isso aqui basta pegar matrizes gerais A e B, aplicar a definição em ambas as ordens e comparar as entradas.

Passo 3

Prova direta da comutatividade (passo a passo).
Sejam
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}u & v \\\ w & x\end{pmatrix}.
Pela definição,
A*B=\begin{pmatrix}b+v & 0 \\[4pt] 0 & c+w\end{pmatrix}.
Trocando a ordem,
B*A=\begin{pmatrix}v+b & 0 \\[4pt] 0 & w+c\end{pmatrix}.
Como a adição de inteiros é comutativa ( b+v = v+b e c+w = w+c), conclui-se que as duas matrizes são idênticas. Portanto, para quaisquer A,B,
A*B = B*A,
ou seja, * é comutativa.
Comentário didático rápido: a comutatividade aqui vem do fato de que a definição usa apenas somas dos elementos 12 e 21 das matrizes, e soma de inteiros é comutativa — por isso a ordem não importa.]

Passo 4

Definição e estratégia para associatividade.
Uma operação * é associativa se, para todos A,B,C\in M_{2}(\mathbb{Z}),
(A*B)*C = A*(B*C).
Para mostrar que * não é associativa basta produzir um contraexemplo: encontrar A,B,C tais que as duas expressões sejam diferentes. Vou primeiro calcular as formas gerais de (A*B)*C e A*(B*C) para ver em que podem diferir.

Passo 5

Cálculo geral de (A*B)*C e A*(B*C).
Sejam
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}u & v \\\ w & x\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}p & q \\\ r & s\end{pmatrix}.
Primeiro calcule A*B:
A*B=\begin{pmatrix}b+v & 0 \\[4pt] 0 & c+w\end{pmatrix}.
Agora (A*B)*C: aplicar a definição com M=A*B e C:
(A*B)*C=\begin{pmatrix}(A*B)_{12} + C_{12} & 0 \\[4pt] 0 & (A*B)_{21} + C_{21}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 + q & 0 \\[4pt] 0 & 0 + r\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}q & 0 \\[4pt] 0 & r\end{pmatrix}.
Agora calcule B*C:
B*C=\begin{pmatrix}v+q & 0 \\[4pt] 0 & w+r\end{pmatrix}.
E então
A*(B*C)=\begin{pmatrix}A_{12} + (B*C)_{12} & 0 \\[4pt] 0 & A_{21} + (B*C)_{21}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b + 0 & 0 \\[4pt] 0 & c + 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b & 0 \\[4pt] 0 & c\end{pmatrix}.
Comparando:
(A*B)*C = \begin{pmatrix}q & 0 \\[4pt] 0 & r\end{pmatrix},\qquad A*(B*C) = \begin{pmatrix}b & 0 \\[4pt] 0 & c\end{pmatrix}.
Para que fossem iguais para todo A,B,C seria necessário q=b e r=c para quaisquer entradas, o que é falso em geral. Portanto esperamos encontrar um contraexemplo com b\neq q ou c\neq r.]

Passo 6

Contraexemplo explícito com cálculos passo a passo.
Escolhemos matrizes simples para facilitar as contas. Tomemos
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
(o 0 aqui é a entrada zero inteira).
Calcule A*B:
A*B=\begin{pmatrix}1+0 & 0 \\[4pt] 0 & 0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora (A*B)*C:
(A*B)*C=\begin{pmatrix} (A*B)_{12} + C_{12} & 0 \\[4pt] 0 & (A*B)_{21} + C_{21}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0+0 & 0 \\[4pt] 0 & 0+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Por outro lado, calcule B*C:
B*C=\begin{pmatrix}0+0 & 0 \\[4pt] 0 & 0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Então
A*(B*C)=A*\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 + 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 + 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Comparando:
(A*B)*C = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \quad\neq\quad A*(B*C) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Portanto * não é associativa (já que encontramos A,B,C com (A*B)*C \neq A*(B*C)).]

Passo 7

Resumo e interpretação didática.
  • A comutatividade foi provada de forma geral: a definição leva a A*B e B*A cujas entradas diferem apenas na ordem de somas de inteiros; como soma é comutativa, as matrizes coincidem sempre.
  • A associatividade falha porque, ao compor três matrizes, a operação “zera” as entradas 12 e 21 dos resultados intermédios, de modo que a ordem de associação muda quais entradas são somadas no final; isso permite construir contraexemplos (como o dado) em que os dois lados são diferentes.

Resposta

* é comutativa e não é associativa.