Considere o seguinte resultado: se \operatorname{det}(A)=0, então A não tem inversa. Use o resultado anterior para encontrar os valores de x para que as matrizes não tenham inversa:
\left[\begin{array}{cc}-2(x+2) & 3 \\\ \frac{1}{3} & x-1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os valores de x tais que a matriz
A=\begin{pmatrix} -2(x+2) & 3\\\ \dfrac13 & x-1 \end{pmatrix}
não tenha inversa. Pelo critério dado, isso ocorre exatamente quando \det(A)=0.

Passo 2

Calculemos o determinante de A usando \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}:
\det(A)=\bigl(-2(x+2)\bigr)\,(x-1)\;-\;3\cdot\dfrac13
\det(A)=-2(x+2)(x-1)-1
Agora expandimos e simplificamos:
-2\bigl(x^2+x-2\bigr)-1=-2x^2-2x+4-1=-2x^2-2x+3.

Passo 3

Impondo \det(A)=0 temos
-2x^2-2x+3=0.
Multiplicando por -1 segue
2x^2+2x-3=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2} =\frac{-2\pm\sqrt{4+24}}{4} =\frac{-2\pm\sqrt{28}}{4} =\frac{-2\pm2\sqrt7}{4} =\frac{-1\pm\sqrt7}{2}.

Resposta

x=\frac{-1+\sqrt7}{2} \quad\text{ou}\quad x=\frac{-1-\sqrt7}{2}.

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