Considere as seguintes matrizes:
(a)
;
(d)
(f)
E2=[l0 1 0]
(b)
B=[rr2 & -1 2 & 0 0 & 3] ;
(e)
E1=[l1 0 0]
(g)
E3=[l0 0 1]
©
C=[rrr-2 & 1 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1] ;
Verifique que:
(a)
A B é diferente de
B A ;
(b)
A Ej é a j-ésima coluna de
A , para
j=1,2,3 e
Ei^t B é a i-ésima linha de
B , para
i=1,2,3 ;
©
C D=[llld1 C1 & d2 C2 & d3 C3] , em que
C1=[r-2 0 -1], C2=[l1 1 0] e
C3=[r-1 1 1] , são as colunas de
C .
(d)
D C=[ld1 C1 d2 C2 d3 C3] , em que
C1=[lll-2 & 1 & -1], C2=[lll0 & 1 & 1] e
C3=[lll-1 & 0 & 1] são as linhas de
C .
(e) Escrevendo
B em termos das suas colunas,
B=[llB1 & B2] , em que
B1=[l2 2 0] , e
B1=
[r-1 0 3] , o produto
A B pode ser escrito como
A B=A[llB1 & B2]=[llA B1 & A B2] .
(f) Escrevendo
A em termos das suas linhas,
A1=[lll-3 & 2 & 1] e
A2=[lll1 & 2 & -1] , o produto
A B pode ser escrito como
A B=[lA1 A2] cdot B=[lA1 B A2 B]
(a)
(d)
(f)
(b)
(e)
(g)
©
Verifique que:
(a)
(b)
©
(d)
(e) Escrevendo
(f) Escrevendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos algumas propriedades envolvendo multiplicação de matrizes com as matrizes
,
,
,
, e vetores
,
,
. Vamos precisar entender como multiplicar matrizes, como multiplicar matrizes por vetores, e as propriedades de colunas e linhas nessas multiplicações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
A = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 , B = 2 & -1 2 & 0 0 & 3 é diferente de
A B = (-3)(2) + (2)(2) + (1)(0) & (-3)(-1) + (2)(0) + (1)(3) (1)(2) + (2)(2) + (-1)(0) & (1)(-1) + (2)(0) + (-1)(3) = -6 + 4 + 0 & 3 + 0 + 3 2 + 4 + 0 & -1 + 0 -3 = -2 & 6 6 & -4 .
Para isso, vamos calcular
B A = 2 & -1 2 & 0 0 & 3 times -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 e
B A = (2)(-3) + (-1)(1) & (2)(2) + (-1)(2) & (2)(1) + (-1)(-1) (2)(-3) + (0)(1) & (2)(2) + (0)(2) & (2)(1) + (0)(-1) (0)(-3) + (3)(1) & (0)(2) + (3)(2) & (0)(1) + (3)(-1) = -6 -1 & 4 -2 & 2 +1 -6 +0 & 4 +0 & 2 +0 0 +3 & 0 +6 & 0 -3 = -7 & 2 & 3 -6 & 4 & 2 3 & 6 & -3 separadamente.
Multiplicando
A B = -2 & 6 6 & -4 , B A = -7 & 2 & 3 -6 & 4 & 2 3 & 6 & -3 por
:
Multiplicando
por
:
Aqui, percebemos que
é uma matriz
e
é uma matriz
. O produto
será uma matriz
.
Comparando
e
:
Claramente,
e
são matrizes de dimensões diferentes, então elas não são iguais.
Passo 3
Agora, vamos verificar que
E1 = 1 0 0, E2 = 0 1 0, E3 = 0 0 1 é a
A E1 = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 1 0 0 = -3 1 (primeira coluna de A) -ésima coluna de
A E2 = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 0 1 0 = 2 2 (segunda coluna de A) para
A E3 = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 0 0 1 = 1 -1 (terceira coluna de A) e que
E1^t = 1 & 0 & 0, E2^t = 0 & 1 & 0, E3^t = 0 & 0 & 1 é a
E1^t B = 1 & 0 & 0 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = 2 & -1 (primeira linha de B) -ésima linha de
E2^t B = 0 & 1 & 0 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = 2 & 0 (segunda linha de B) para
E3^t B = 0 & 0 & 1 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = 0 & 3 (terceira linha de B) .
Multiplicando
por
:
Os vetores
são os vetores canônicos:
Multiplicando
por cada
:
Então, de fato,
corresponde à
-ésima coluna de
.
Multiplicando
por
:
Os vetores
são as transpostas dos vetores canônicos:
Multiplicando
por
:
Assim,
realmente corresponde à
-ésima linha de
.
Passo 4
Vamos agora verificar que
d1 C1 & d2 C2 & d3 C3 , onde
C = -2 & 1 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 , D = d1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3 ,
C D = -2 cdot d1 + 1 cdot 0 + (-1) cdot 0 & -2 cdot 0 + 1 cdot d2 + (-1) cdot 0 & -2 cdot 0 + 1 cdot 0 + (-1) cdot d3 0 cdot d1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 & 0 cdot 0 + 1 cdot d2 + 1 cdot 0 & 0 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot d3 -1 cdot d1 + 0 cdot 0 + 1 cdot 0 & -1 cdot 0 + 0 cdot d2 + 1 cdot 0 & -1 cdot 0 + 0 cdot 0 + 1 cdot d3 , e
C D = -2 d1 & d2 & -d3 0 & d2 & d3 - d1 & 0 & d3 = d1 C1 & d2 C2 & d3 C3 são as colunas de
C1 = -2 0 -1 , C2 = 1 1 0 , C3 = -1 1 1 .
Matriz
e
:
Multiplicando
por
:
Simplificando:
Onde:
Portanto, a igualdade
está confirmada.
Passo 5
Agora, vamos verificar que
d1 C1 d2 C2 d3 C3 , onde
D = d1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3 , C = -2 & 1 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 ,
D C = d1 cdot (-2) + 0 cdot 0 + 0 cdot (-1) & d1 cdot 1 + 0 cdot 1 + 0 cdot 0 & d1 cdot (-1) + 0 cdot 1 + 0 cdot 1 0 cdot (-2) + d2 cdot 0 + 0 cdot (-1) & 0 cdot 1 + d2 cdot 1 + 0 cdot 0 & 0 cdot (-1) + d2 cdot 1 + 0 cdot 1 0 cdot (-2) + 0 cdot 0 + d3 cdot (-1) & 0 cdot 1 + 0 cdot 1 + d3 cdot 0 & 0 cdot (-1) + 0 cdot 1 + d3 cdot 1 , e
D C = -2 d1 & d1 & -d1 0 & d2 & d2 - d3 & 0 & d3 = d1 C1 d2 C2 d3 C3 são as linhas de
C1 = -2 & 1 & -1 , C2 = 0 & 1 & 1 , C3 = -1 & 0 & 1 .
Matriz
d1 C1 d2 C2 d3 C3 e
:
Multiplicando
por
:
Simplificando:
Onde as linhas de
são:
Portanto, a igualdade
também está confirmada.
Passo 6
Vamos agora expressar
B = 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = B1 & B2 , B1 = 2 2 0 , B2 = -1 0 3 em termos de suas colunas e verificar que
A B = A B1 & B2 = A B1 & A B2 .
Matriz
A B1 = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 2 2 0 = (-3)(2) + (2)(2) + (1)(0) (1)(2) + (2)(2) + (-1)(0) = -6 + 4 + 0 2 + 4 + 0 = -2 6 :
Multiplicando
A B = -2 & 6 6 & -4 = [A B1 A B2] por
:
Calculando
:
Calculando
:
Portanto,
Passo 7
Por fim, vamos escrever
A1 B A2 B em termos de suas linhas e verificar que
A = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 , A1 = -3 & 2 & 1 , A2 = 1 & 2 & -1 .
Matriz
A B = A1 A2 B = A1 B A2 B e suas linhas:
Multiplicando
A2 B = 1 & 2 & -1 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = (1)(2) + (2)(2) + (-1)(0) & (1)(-1) + (2)(0) + (-1)(3) = 2 + 4 + 0 & -1 + 0 -3 = 6 & -4 por
A B = -2 & 6 6 & -4 = A1 B A2 B :
Calculando
:
Calculando
:
Portanto,
Resposta
Conseguimos verificar todas as propriedades solicitadas:
(a)
d1 C1 d2 C2 d3 C3 é realmente diferente de
A1 B A2 B ;
(b)
corresponde à
-ésima coluna de
e
corresponde à
-ésima linha de
para todos os valores de
e
;
©
pode ser escrito como
, onde
,
, e
são as colunas de
;
(d)
pode ser escrito como
, onde
,
, e
são as linhas de
;
(e)
escrito em termos de suas colunas resulta em
;
(f)
escrito em termos de suas linhas resulta em
.
Tudo está confirmado conforme as solicitações do exercício!