Considere as seguintes matrizes:
(a) A=[rrr-3 & 2 & 1 1 & 2 & -1];
(d) D=[rrrd1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3]
(f) E2=[l0 1 0]
(b) B=[rr2 & -1 2 & 0 0 & 3];
(e) E1=[l1 0 0]
(g) E3=[l0 0 1]
© C=[rrr-2 & 1 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1];
Verifique que:
(a) A B é diferente de B A;
(b) A Ej é a j-ésima coluna de A, para j=1,2,3 e Ei^t B é a i-ésima linha de B, para i=1,2,3;
© C D=[llld1 C1 & d2 C2 & d3 C3], em que C1=[r-2 0 -1], C2=[l1 1 0] e C3=[r-1 1 1], são as colunas de C.
(d) D C=[ld1 C1 d2 C2 d3 C3], em que C1=[lll-2 & 1 & -1], C2=[lll0 & 1 & 1] e C3=[lll-1 & 0 & 1] são as linhas de C.
(e) Escrevendo B em termos das suas colunas, B=[llB1 & B2], em que B1=[l2 2 0], e B1= [r-1 0 3], o produto A B pode ser escrito como A B=A[llB1 & B2]=[llA B1 & A B2].
(f) Escrevendo A em termos das suas linhas, A1=[lll-3 & 2 & 1] e A2=[lll1 & 2 & -1], o produto A B pode ser escrito como A B=[lA1 A2] cdot B=[lA1 B A2 B]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos algumas propriedades envolvendo multiplicação de matrizes com as matrizes , , , , e vetores , , . Vamos precisar entender como multiplicar matrizes, como multiplicar matrizes por vetores, e as propriedades de colunas e linhas nessas multiplicações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se A = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 , B = 2 & -1 2 & 0 0 & 3 é diferente de A B = (-3)(2) + (2)(2) + (1)(0) & (-3)(-1) + (2)(0) + (1)(3) (1)(2) + (2)(2) + (-1)(0) & (1)(-1) + (2)(0) + (-1)(3) = -6 + 4 + 0 & 3 + 0 + 3 2 + 4 + 0 & -1 + 0 -3 = -2 & 6 6 & -4 .
Para isso, vamos calcular B A = 2 & -1 2 & 0 0 & 3 times -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 e B A = (2)(-3) + (-1)(1) & (2)(2) + (-1)(2) & (2)(1) + (-1)(-1) (2)(-3) + (0)(1) & (2)(2) + (0)(2) & (2)(1) + (0)(-1) (0)(-3) + (3)(1) & (0)(2) + (3)(2) & (0)(1) + (3)(-1) = -6 -1 & 4 -2 & 2 +1 -6 +0 & 4 +0 & 2 +0 0 +3 & 0 +6 & 0 -3 = -7 & 2 & 3 -6 & 4 & 2 3 & 6 & -3 separadamente.
Multiplicando A B = -2 & 6 6 & -4 , B A = -7 & 2 & 3 -6 & 4 & 2 3 & 6 & -3 por :
Multiplicando por :
Aqui, percebemos que é uma matriz e é uma matriz . O produto será uma matriz .
Comparando e :
Claramente, e são matrizes de dimensões diferentes, então elas não são iguais.

Passo 3

Agora, vamos verificar que E1 = 1 0 0, E2 = 0 1 0, E3 = 0 0 1 é a A E1 = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 1 0 0 = -3 1 (primeira coluna de A) -ésima coluna de A E2 = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 0 1 0 = 2 2 (segunda coluna de A) para A E3 = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 0 0 1 = 1 -1 (terceira coluna de A) e que E1^t = 1 & 0 & 0, E2^t = 0 & 1 & 0, E3^t = 0 & 0 & 1 é a E1^t B = 1 & 0 & 0 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = 2 & -1 (primeira linha de B) -ésima linha de E2^t B = 0 & 1 & 0 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = 2 & 0 (segunda linha de B) para E3^t B = 0 & 0 & 1 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = 0 & 3 (terceira linha de B) .
Multiplicando por :
Os vetores são os vetores canônicos:
Multiplicando por cada :
Então, de fato, corresponde à -ésima coluna de .
Multiplicando por :
Os vetores são as transpostas dos vetores canônicos:
Multiplicando por :
Assim, realmente corresponde à -ésima linha de .

Passo 4

Vamos agora verificar que d1 C1 & d2 C2 & d3 C3 , onde C = -2 & 1 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 , D = d1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3 , C D = -2 cdot d1 + 1 cdot 0 + (-1) cdot 0 & -2 cdot 0 + 1 cdot d2 + (-1) cdot 0 & -2 cdot 0 + 1 cdot 0 + (-1) cdot d3 0 cdot d1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 & 0 cdot 0 + 1 cdot d2 + 1 cdot 0 & 0 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot d3 -1 cdot d1 + 0 cdot 0 + 1 cdot 0 & -1 cdot 0 + 0 cdot d2 + 1 cdot 0 & -1 cdot 0 + 0 cdot 0 + 1 cdot d3 , e C D = -2 d1 & d2 & -d3 0 & d2 & d3 - d1 & 0 & d3 = d1 C1 & d2 C2 & d3 C3 são as colunas de C1 = -2 0 -1 , C2 = 1 1 0 , C3 = -1 1 1 .
Matriz e :
Multiplicando por :
Simplificando:
Onde:
Portanto, a igualdade está confirmada.

Passo 5

Agora, vamos verificar que d1 C1 d2 C2 d3 C3 , onde D = d1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3 , C = -2 & 1 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 , D C = d1 cdot (-2) + 0 cdot 0 + 0 cdot (-1) & d1 cdot 1 + 0 cdot 1 + 0 cdot 0 & d1 cdot (-1) + 0 cdot 1 + 0 cdot 1 0 cdot (-2) + d2 cdot 0 + 0 cdot (-1) & 0 cdot 1 + d2 cdot 1 + 0 cdot 0 & 0 cdot (-1) + d2 cdot 1 + 0 cdot 1 0 cdot (-2) + 0 cdot 0 + d3 cdot (-1) & 0 cdot 1 + 0 cdot 1 + d3 cdot 0 & 0 cdot (-1) + 0 cdot 1 + d3 cdot 1 , e D C = -2 d1 & d1 & -d1 0 & d2 & d2 - d3 & 0 & d3 = d1 C1 d2 C2 d3 C3 são as linhas de C1 = -2 & 1 & -1 , C2 = 0 & 1 & 1 , C3 = -1 & 0 & 1 .
Matriz d1 C1 d2 C2 d3 C3 e :
Multiplicando por :
Simplificando:
Onde as linhas de são:
Portanto, a igualdade também está confirmada.

Passo 6

Vamos agora expressar B = 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = B1 & B2 , B1 = 2 2 0 , B2 = -1 0 3 em termos de suas colunas e verificar que A B = A B1 & B2 = A B1 & A B2 .
Matriz A B1 = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 2 2 0 = (-3)(2) + (2)(2) + (1)(0) (1)(2) + (2)(2) + (-1)(0) = -6 + 4 + 0 2 + 4 + 0 = -2 6 :
A B2 = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 -1 0 3 = (-3)(-1) + (2)(0) + (1)(3) (1)(-1) + (2)(0) + (-1)(3) = 3 + 0 + 3 -1 + 0 -3 = 6 -4
Multiplicando A B = -2 & 6 6 & -4 = [A B1 A B2] por :
Calculando :
Calculando :
Portanto,

Passo 7

Por fim, vamos escrever A1 B A2 B em termos de suas linhas e verificar que A = -3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 , A1 = -3 & 2 & 1 , A2 = 1 & 2 & -1 .
Matriz A B = A1 A2 B = A1 B A2 B e suas linhas:
A1 B = -3 & 2 & 1 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = (-3)(2) + (2)(2) + (1)(0) & (-3)(-1) + (2)(0) + (1)(3) = -6 + 4 + 0 & 3 + 0 + 3 = -2 & 6
Multiplicando A2 B = 1 & 2 & -1 2 & -1 2 & 0 0 & 3 = (1)(2) + (2)(2) + (-1)(0) & (1)(-1) + (2)(0) + (-1)(3) = 2 + 4 + 0 & -1 + 0 -3 = 6 & -4 por A B = -2 & 6 6 & -4 = A1 B A2 B :
Calculando :
Calculando :
Portanto,

Resposta

Conseguimos verificar todas as propriedades solicitadas:
(a) d1 C1 d2 C2 d3 C3 é realmente diferente de A1 B A2 B ;
(b) corresponde à -ésima coluna de e corresponde à -ésima linha de para todos os valores de e ;
© pode ser escrito como , onde , , e são as colunas de ;
(d) pode ser escrito como , onde , , e são as linhas de ;
(e) escrito em termos de suas colunas resulta em ;
(f) escrito em termos de suas linhas resulta em .
Tudo está confirmado conforme as solicitações do exercício!

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