Considere as seguintes retas:
c t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l 2 x+2 y-z=7
E os planos
alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
alpha e beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois planos, o plano α dado por 2x - y + z = 1 e o plano β dado por -y + 3z = 4. A gente vai analisar a posição relativa entre esses planos, ou seja, se eles são paralelos, coincidentes ou se se cruzam. Além disso, vamos descobrir o ângulo que eles formam entre si e a distância entre eles. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores normais e como calcular ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a ele e é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
  • Para o plano α: 2x - y + z = 1
    • Vetor normal, nα = (2, -1, 1)
  • Para o plano β: -y + 3z = 4
    • Aqui, não tem o termo x, então o coeficiente de x é 0.
    • Vetor normal, nβ = (0, -1, 3)

Passo 3

Agora, vamos ver como esses vetores normais se relacionam para entender a posição relativa dos planos.
  • Se os vetores normais forem paralelos, ou seja, se um for múltiplo do outro, os planos são paralelos.
  • Se não forem múltiplos, os planos se cruzam.
Vamos verificar se existe um número k tal que nα = k nβ.
Comparamos as componentes:
  • 2 = 0 cdot k ⟶ Não tem valor de k que satisfaça isso.
  • Já deu pra ver que não são múltiplos, então os planos não são paralelos. Portanto, eles se cruzam.

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo entre os planos. O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre seus vetores normais.
A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores a e b é:
cos theta = a cdot b||a|| cdot ||b||
Onde:
  • a cdot b é o produto escalar
  • ||a|| e ||b|| são as normas dos vetores
Vamos calcular cada parte:
  1. Produto escalar:
nα cdot nβ = (2)(0) + (-1)(-1) + (1)(3) = 0 + 1 + 3 = 4
  1. Norma dos vetores:
||nα|| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
||nβ|| = raiz0^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz0 + 1 + 9 = raiz10
  1. Calculando o cosseno do ângulo:
cos theta = 4raiz6 cdot raiz10 = 4raiz60 = 42raiz15 = 2raiz15 approx 0,5164
  1. Encontrando o ângulo:
theta = arccos(0,5164) approx 58^circ

Passo 5

Como os planos se cruzam, a distância entre eles é zero, porque eles têm uma linha de interseção comum.

Resposta

Os planos α e β se interceptam formando um ângulo de aproximadamente 58^circ entre eles, e a distância entre eles é zero.

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