Considere o sinal f(t)=\left(1-e^{-t / 3}\right). Este é um sinal de energia? Caso positivo, calcule \mathcal{E}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal contínuo \displaystyle f(t)=1-e^{-t/3}
e pergunta se ele é um sinal de energia. Em teoria de sinais, dizemos que um sinal é de energia se
\mathcal{E}=\int_{-\infty}^{\infty}\bigl|f(t)\bigr|^{2}\,dt
for finita e não nula.

Passo 2

Como f(t) é tipicamente considerado causal (isto é, f(t)=0 para t<0), basta calcular
\mathcal{E}=\int_{0}^{\infty}\bigl(1-e^{-t/3}\bigr)^{2}\,dt.

Passo 3

Expandimos o quadrado do integrando:
\bigl(1-e^{-t/3}\bigr)^{2} =1-2e^{-t/3}+e^{-2t/3}.
Portanto
\mathcal{E} =\int_{0}^{\infty}1\,dt \;-\;2\int_{0}^{\infty}e^{-t/3}\,dt \;+\;\int_{0}^{\infty}e^{-2t/3}\,dt.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\int_{0}^{\infty}1\,dt=\infty,
enquanto
\int_{0}^{\infty}e^{-t/3}\,dt =3, \quad \int_{0}^{\infty}e^{-2t/3}\,dt =\tfrac{3}{2}.
Mas o primeiro termo já diverge, logo \mathcal{E}=\infty.

Passo 5

Como a energia \mathcal{E} é infinita, o sinal não satisfaz a definição de sinal de energia.

Resposta

Não, f(t) não é um sinal de energia, pois \mathcal{E}=\infty.

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