Considere o sinal f(t)=\sin \left(\frac{1}{5} \pi t\right) definido dentro do intervalo t \in [0,10] s. Amostre este sinal diferentes períodos de amostragem: T_{s}= 0.1 \mathrm{~s}, T_{s}=1 \mathrm{e} T_{s}=6 \mathrm{~s}. Interpole os sinais amostrados com uma reta (FOH) e compare os sinais obtidos. Todos os sinais resultantes podem ser consideradas representações fieis, no domínio de tempo discreto, do sinal contínuo original? Discuta o fenômeno do aliasing. Como deve ser feita a escolha correta para o período de amostragem? Qual o efeito dos diferentes tipos de interpoladores (FOH, ZOH) nos sinais resultantes?

Passo 1

O enunciado pede para amostrar o sinal contínuo
f(t)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\,t\bigr),
para t\in[0,10],s, usando três períodos de amostragem diferentes: \,T_s=0{,}1,s, T_s=1,s e T_s=6,s. Depois devemos interpolar esses pontos amostrados por uma reta (FOH – first‐order hold), comparar com o sinal original, discutir se cada reconstrução é fiel (no sentido de tempo discreto), explicar o fenômeno de aliasing, indicar como escolher corretamente T_s e comentar o efeito de interpoladores FOH versus ZOH.
Conteúdo: Teorema de amostragem de Shannon, frequência de Nyquist, aliasing e tipos de hold.

Passo 2

Calcular a frequência do sinal contínuo. Temos
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\,t\bigr)=\sin(2\pi f\,t),
logo 2\pi f=\tfrac{\pi}{5}\Rightarrow f=0{,}1,Hz. A taxa de Nyquist é
f_N=2f=0{,}2\text{ Hz},
o que implica que o período de amostragem deve satisfazer
T_s\le \frac1{f_N}=5\text{ s}
para evitar aliasing.

Passo 3

Comparar cada T_s com o critério de Nyquist:
  • Para T_s=0{,}1,s temos f_s=10 Hz \gg0{,}2 Hz: amostragem abundante.
  • Para T_s=1,s temos f_s=1 Hz >0{,}2 Hz: atende marginalmente o critério (oversampling).
  • Para T_s=6,s temos f_s\approx0{,}167 Hz <0{,}2 Hz: viola Nyquist, ocorrerá aliasing.

Passo 4

Descrever as reconstruções FOH para cada caso:
  • T_s=0{,}1,s: muitos pontos, a interpolação linear segue quase exatamente o contorno de \sin(\pi t/5). É uma representação fiel.
  • T_s=1,s: há menos pontos, mas ainda acima de Nyquist. A FOH reproduz bem a forma de onda, embora perceba‐se ligeiro “achatamento” nas cristas. Continua sendo uma representação aceitável.
  • T_s=6,s: poucos pontos (apenas 2 pontos sobre 10 s). A FOH liga esses poucos pontos e produz uma “rampa” grosseira que não lembra o seno original: o sinal percebido tem frequência aliased (menor que 0,1 Hz).

Passo 5

Explicar aliasing:
Quando f_s<2f, componentes de alta frequência do sinal original “dobram” no espectro discreto e aparecem como frequência mais baixa. No caso T_s=6,s, f_s\approx0{,}167 Hz < 2f=0{,}2 Hz, o seno de 0{,}1 Hz é interpretado como um seno de frequência \lvert f_s - f\rvert=|0{,}167-0{,}1|=0{,}067 Hz (ou equivalente), distorcendo completamente o sinal.

Passo 6

Concluir como escolher T_s:
Pela condição de Shannon, basta garantir
T_s \le \frac1{2f_{\max}},
onde f_{\max} é a maior frequência presente no sinal. Aqui f_{\max}=0{,}1 Hz, então T_s\le5,s. Em geral, escolhe‐se um pouco menor (oversampling) para facilitar a filtragem e melhorar a reconstrução.

Passo 7

Comparar interpoladores FOH e ZOH:
  • FOH (first‐order hold) faz interpolação linear entre amostras, preservando melhor transições e aproximando derivadas.
  • ZOH (zero‐order hold) mantém o valor de cada amostra constante até a próxima, gerando um sinal em “degraus” que provoca mais distorção de altas frequências (espalha espectro).

Resposta

  1. As amostragens com T_s=0{,}1,s e T_s=1,s satisfazem o teorema de Nyquist f_s>2f e permitem reconstruções FOH fieis ao sinal original.
  2. Com T_s=6,s ocorre aliasing: o sinal reconstruído tem frequência equivocada e não é fiel.
  3. O período de amostragem correto deve ser T_s\le1/(2f_{\max}).
  4. FOH (interpolação linear) preserva melhor a forma do sinal do que ZOH (retenção em degraus), sobretudo para componentes de frequência mais alta.

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