Considere o sinal
definido dentro do intervalo
. Amostre este sinal diferentes períodos de amostragem:
. Interpole os sinais amostrados com uma reta (FOH) e compare os sinais obtidos. Todos os sinais resultantes podem ser consideradas representações fieis, no domínio de tempo discreto, do sinal contínuo original? Discuta o fenômeno do aliasing. Como deve ser feita a escolha correta para o período de amostragem? Qual o efeito dos diferentes tipos de interpoladores (FOH, ZOH) nos sinais resultantes?
Passo 1
O enunciado pede para amostrar o sinal contínuo
para
,s, usando três períodos de amostragem diferentes:
,s,
,s e
,s. Depois devemos interpolar esses pontos amostrados por uma reta (FOH – first‐order hold), comparar com o sinal original, discutir se cada reconstrução é fiel (no sentido de tempo discreto), explicar o fenômeno de aliasing, indicar como escolher corretamente
e comentar o efeito de interpoladores FOH versus ZOH.
Conteúdo: Teorema de amostragem de Shannon, frequência de Nyquist, aliasing e tipos de hold.
Conteúdo: Teorema de amostragem de Shannon, frequência de Nyquist, aliasing e tipos de hold.
Passo 2
Calcular a frequência do sinal contínuo. Temos
logo
,Hz. A taxa de Nyquist é
o que implica que o período de amostragem deve satisfazer
para evitar aliasing.
Passo 3
Comparar cada
com o critério de Nyquist:
- Para
,s temos Hz Hz: amostragem abundante. - Para
,s temos Hz Hz: atende marginalmente o critério (oversampling). - Para
,s temos Hz Hz: viola Nyquist, ocorrerá aliasing.
Passo 4
Descrever as reconstruções FOH para cada caso:
-
,s: muitos pontos, a interpolação linear segue quase exatamente o contorno de . É uma representação fiel. -
,s: há menos pontos, mas ainda acima de Nyquist. A FOH reproduz bem a forma de onda, embora perceba‐se ligeiro “achatamento” nas cristas. Continua sendo uma representação aceitável. -
,s: poucos pontos (apenas 2 pontos sobre 10 s). A FOH liga esses poucos pontos e produz uma “rampa” grosseira que não lembra o seno original: o sinal percebido tem frequência aliased (menor que 0,1 Hz).
Passo 5
Explicar aliasing:
Quando , componentes de alta frequência do sinal original “dobram” no espectro discreto e aparecem como frequência mais baixa. No caso
,s,
Hz <
Hz, o seno de
Hz é interpretado como um seno de frequência
Hz (ou equivalente), distorcendo completamente o sinal.
Quando
Passo 6
Concluir como escolher
:
Pela condição de Shannon, basta garantir
Pela condição de Shannon, basta garantir
onde
é a maior frequência presente no sinal. Aqui
Hz, então
,s. Em geral, escolhe‐se um pouco menor (oversampling) para facilitar a filtragem e melhorar a reconstrução.
Passo 7
Comparar interpoladores FOH e ZOH:
- FOH (first‐order hold) faz interpolação linear entre amostras, preservando melhor transições e aproximando derivadas.
- ZOH (zero‐order hold) mantém o valor de cada amostra constante até a próxima, gerando um sinal em “degraus” que provoca mais distorção de altas frequências (espalha espectro).
Resposta
- As amostragens com
,s e ,s satisfazem o teorema de Nyquist e permitem reconstruções FOH fieis ao sinal original. - Com
,s ocorre aliasing: o sinal reconstruído tem frequência equivocada e não é fiel. - O período de amostragem correto deve ser
. - FOH (interpolação linear) preserva melhor a forma do sinal do que ZOH (retenção em degraus), sobretudo para componentes de frequência mais alta.