Considere o sinal x(t)=\sin (\omega t). Apresente o gráfico do sinal resultante \rho(x) das seguintes transformações:
\rho(x)=\operatorname{ramp}(x), no qual \operatorname{ramp}(x) é o sinal tipo rampa:
\operatorname{ramp}(x)= \begin{cases}0, & \text { se } x<0 \\\ x, & \text { se } x \geq 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá o sinal de entrada
x(t)=\sin(\omega t)
e pede o gráfico do sinal de saída
y(t)=\rho\bigl(x(t)\bigr)=\operatorname{ramp}\bigl(x(t)\bigr),
onde
\operatorname{ramp}(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ x, & x\ge 0. \end{cases}
O conteúdo usado será: definição de sinal rampa, condicionais em tempo e propriedade de periodicidade do seno.

Passo 2

Aplicando a definição de rampa a x(t), temos
y(t)= \begin{cases} 0, & \sin(\omega t)<0,\\\ \sin(\omega t), & \sin(\omega t)\ge0. \end{cases}

Passo 3

Determinar os intervalos em que \sin(\omega t)\ge0. Sabemos que para k\in\mathbb{Z}:
\sin(\omega t)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \omega t\in[2k\pi,\,(2k+1)\pi] \quad\Longleftrightarrow\quad t\in\Bigl[\tfrac{2k\pi}{\omega},\,\tfrac{(2k+1)\pi}{\omega}\Bigr].
Então, em cada período T=2\pi/\omega:
  • Para t\in[2k\pi/\omega,\,(2k+1)\pi/\omega], y(t)=\sin(\omega t).
  • Para t\in[(2k+1)\pi/\omega,\,(2k+2)\pi/\omega], y(t)=0.

Passo 4

Desenho aproximado do gráfico de y(t). Cada meio-período positivo de seno fica intacto, cada meio-período negativo é levado a zero:
Amplitude
 1 | /\ /\ /\
 | / \ / \ / \
 | / \ / \ / \
 0 ├───/ \__/ \__/ \__ → t
 | ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
 | 0 T/2 T 3T/\(22\)T 5T/\(23\)T
 –1|
Em cada intervalo [0,T]: de t=0 até t=T/2 vemos a porção \sin(\omega t) positiva; de t=T/2 até t=T o sinal fica em zero. Este padrão se repete periodicamente.

Resposta

y(t)= \begin{cases} \sin(\omega t), & t\in\bigl[\,2k\pi/\omega,\,(2k+1)\pi/\omega\bigr],\\\\ 0, & t\in\bigl[(2k+1)\pi/\omega,\,(2k+2)\pi/\omega\bigr], \end{cases} \quad k\in\mathbb{Z},
com gráfico de meia-onda positiva de seno alternada com trechos em zero.

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