Considere o sinal x(n)=u(n-1)-u(n-5). Esboce cada um dos seguintes sinais:
x(2-n)

Passo 1

O enunciado dá o sinal discreto
x(n)=u(n-1)-u(n-5)
e pede para esboçar o sinal tempo-transformado x(2-n). Informações relevantes que temos:
  • u(n) é a função degrau unitário discreta: u(n)=1 se n\ge0 e u(n)=0 se n<0.
  • Trabalhamos com n inteiro (tempo discreto).
  • A tarefa é obter explicitamente os valores de x(2-n) para todos os n e descrever/plotar esse sinal.

Passo 2

Entender primeiro x(n) (isso facilita a transformação). Avaliando os degraus:
  • u(n-1)=1 quando n-1\ge0, ou seja quando n\ge1.
  • u(n-5)=1 quando n-5\ge0, ou seja quando n\ge5.
Portanto x(n)=u(n-1)-u(n-5) vale:
  • Se n<1: u(n-1)=0 e u(n-5)=0 x(n)=0.
  • Se 1\le n\le4: u(n-1)=1 e u(n-5)=0 x(n)=1.
  • Se n\ge5: u(n-1)=1 e u(n-5)=1 x(n)=0.
Resumo: x(n) é um pulso unitário de amplitude 1 nos pontos n=1,2,3,4 e zero em outros n.

Passo 3

Agora aplicamos a transformação pedida: definir y(n)=x(2-n). Substituindo a expressão de x:
y(n)=x(2-n)=u(2-n-1)-u(2-n-5).
Simplificando os argumentos dos degraus:
y(n)=u(1-n)-u(-3-n).

Passo 4

Analisar cada degrau em termos de n:
  • u(1-n)=1 quando 1-n\ge0 \Rightarrow n\le1. Caso contrário u(1-n)=0.
  • u(-3-n)=1 quando -3-n\ge0 \Rightarrow n\le-3. Caso contrário u(-3-n)=0.
Queremos os n em que y(n)=u(1-n)-u(-3-n)=1. Isso ocorre quando u(1-n)=1 e u(-3-n)=0. Em termos de desigualdades:
n\le1 \quad\text{e}\quad n>-3.
Juntando as condições obtemos
-2\le n\le1.
Ou seja, y(n)=1 para n=-2,-1,0,1. Para n\le-3 ambos os degraus valem 1 e a diferença é 0; para n\ge2 ambos valem 0 e a diferença é 0.

Passo 5

Tabela de valores (exemplos):
\begin{array}{c|ccccccc} n & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\hline u(1-n) & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\\ u(-3-n) & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\ y(n)=u(1-n)-u(-3-n) & -1\text{? no discreto isto não ocorre} & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}ã
Observação: a entrada n=-4 na tabela acima mostra u(1-(-4))=u(5)=1 e u(-3-(-4))=u(1)=1, então a diferença é 0. (A linha com -1 foi um rascunho que não se aplica; a diferença real é sempre 0 ou 1 neste caso.) Concluímos que os únicos n com valor 1 são n=-2,-1,0,1; em todos os outros n o sinal vale 0.

Passo 6

Como esboçar: desenhe o eixo discreto n e marque hastes (stem plot) com amplitude 1 em n=-2,-1,0,1. Em todos os outros inteiros a altura é 0. É um pulso de comprimento 4 deslocado para a esquerda, devido à operação de reversão n\mapsto -n combinada com deslocamento.

Resposta

x(2-n)=1 para n=-2,-1,0,1.
x(2-n)=0 para todos os outros inteiros n.

Exercícios relacionados