Considere um sistema amortecido com
e
submetido a uma força
. Plote na mesma figura as curvas da amplitude da resposta em regime permanente pela frequência
para
N.s
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular e plotar, na mesma figura, as curvas da amplitude da resposta em regime permanente (em função da frequência
) para um sistema massa-mola-amortecedor com os dados abaixo e para quatro valores de amortecimento:
- massa:
. - rigidez:
. - força externa:
, ou seja, amplitude . - valores de
:
O objetivo prático: obter a expressão da amplitude em regime permanente
, analisar comportamento (picos de ressonância, limites para
e
) e fornecer o gráfico das quatro curvas em uma mesma figura para comparar.
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento forçada e amortecida:
Para a resposta em regime permanente procuramos uma solução particular da forma senoidal com mesma frequência:
onde
é a amplitude dependente de
e
é o defasamento. Substituindo
na equação (ou usando o método dos fasores/impedância) obtém-se a expressão padrão da amplitude:
Aqui:
-
é a amplitude da força (aqui ), -
representa a parte em fase (parcialmente a rigidez efetiva), -
representa a parte defasada (associada ao amortecimento), - o denominador é a magnitude da impedância dinâmica.
Passo 3
Calculemos parâmetros úteis para interpretar as curvas.
A frequência natural não amortecida é
O limite em baixa frequência (
) dá
Para
muito grande a amplitude decai aproximadamente como
(decresce rápido, ordem
).
Passo 4
Definimos o coeficiente de amortecimento adimensional (razão de amortecimento):
Calculemos
para cada
. Note que
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Comentários rápidos:
indica subamortecido,
criticamente amortecido,
sobreamortecido.
Passo 5
Ressonância (pico da resposta em frequência) ocorre somente se o amortecimento for pequeno o bastante. A frequência de pico (quando existe) é dada por
válida somente se
, isto é se
. Vamos verificar:
- Para
temos , logo há pico e
- Para
temos , logo há pico e
- Para
( ) e ( ) temos , portanto a expressão acima não fornece frequência de pico (não há pico de ressonância pronunciado nesses casos).
Passo 6
Calculemos amplitudes representativas para comparação (usando a fórmula de
).
Amplitude no pico (ou perto dele) e amplitude em
:
-
Valor limite em baixa frequência já dado:
. -
Amplitude em
:
Logo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Amplitude no pico
(quando existe): usamos a fórmula completa . -
Para
, em :
cálculo aproximado (expliquei como obter numericamente):
, então e . Assim Observação: este valor é muito próximo deporque para amortecimento pequeno o pico fica perto de . -
Para
, em :
, , . Assim -
Para
e não há pico de ressonância; os máximos são monótonos ou ocorrem em muito baixas/altas. Valores típicos em já listados acima.
-
Passo 7
Como o enunciado pede o gráfico das quatro curvas na mesma figura, aí vai um exemplo de código em Python/NumPy/Matplotlib que você pode rodar (copie e cole num Jupyter notebook ou script .py). O código gera
de
a
e plota
para cada
.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# parâmetros
m = 10.0
k = 4000.0
F0 = 200.0
cs = [40.0, 200.0, 400.0, 800.0]
omega = np.linspace(0.01, 60.0, 6000) # evite omega=0 exato para divisão numérica
def X_of_omega(omega, c):
denom = np.sqrt((k - m*omega**2)**2 + (c*omega)**2)
return F0 / denom
plt.figure(figsize=(8,5))
for c in cs:
X = X_of_omega(omega, c)
plt.plot(omega, X, label=f'c={int\text{(c)}} N.s/m')
plt.axvline(20, color='k', linestyle='--', linewidth=0.8, label=r'\(\omega_n=20\) rad/s')
plt.xlabel(r'\(\omega\\ \mathrm{(rad/s)}\)')
plt.ylabel(r'\(X(\omega)\\ \mathrm{(m)}\)')
plt.title('Curvas da amplitude em regime permanente para vários amortecimentos')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim(0,60)
plt.ylim(0, max(0.3, plt.ylim()[1]))
plt.show()
Dicas para a figura:
- Use escala de
de a (3 vezes ) para ver bem o pico e a queda. - Adicione a linha vertical em
para referência. - Repare que a curva
apresenta o pico mais acentuado perto de , tem pico mais amortecido e deslocado para , enquanto e não mostram pico pronunciado.
Passo 8
Resumo interpretativo — pontos-chave que você deverá verificar no gráfico quando rodar o código:
- Limite estático: todas as curvas tendem a
quando . - Para pequenas
as amplitudes são próximas a ; para perto de a amplitude depende fortemente de : menor → pico maior. - As quatro curvas permitem comparar diretamente o efeito do amortecimento:
(pico pronunciado, ), (pico mais amortecido, ), ( ) e ( ).
Resposta
Existe pico de ressonância para
Valores em
Use o código Python fornecido para gerar o gráfico com as quatro curvas na mesma figura.