Considere um sistema amortecido com m=10 \mathrm{~kg} e k=4000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} submetido a uma força F(t)=200 \operatorname{sen}(\omega t). Plote na mesma figura as curvas da amplitude da resposta em regime permanente pela frequência \omega para c=40 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}, c=200 N.s / \mathrm{m}, c=400 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{me} c=800 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular e plotar, na mesma figura, as curvas da amplitude da resposta em regime permanente (em função da frequência \omega) para um sistema massa-mola-amortecedor com os dados abaixo e para quatro valores de amortecimento:
  • massa: m=10\\ \mathrm{kg}.
  • rigidez: k=4000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
  • força externa: F(t)=200\sin(\omega t), ou seja, amplitude F_0=200\\ \mathrm{N}.
  • valores de c: c=40\\ \mathrm{N\cdot s/m},\; c=200\\ \mathrm{N\cdot s/m},\; c=400\\ \mathrm{N\cdot s/m},\; c=800\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
O objetivo prático: obter a expressão da amplitude em regime permanente X(\omega), analisar comportamento (picos de ressonância, limites para \omega\to0 e \omega\to\infty) e fornecer o gráfico das quatro curvas em uma mesma figura para comparar.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento forçada e amortecida:
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\sin(\omega t).
Para a resposta em regime permanente procuramos uma solução particular da forma senoidal com mesma frequência:
x_p(t)=X(\omega)\sin(\omega t-\varphi),
onde X(\omega) é a amplitude dependente de \omega e \varphi é o defasamento. Substituindo x_p na equação (ou usando o método dos fasores/impedância) obtém-se a expressão padrão da amplitude:
X(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
Aqui:
  • F_0 é a amplitude da força (aqui 200\\ \mathrm{N}),
  • k-m\omega^2 representa a parte em fase (parcialmente a rigidez efetiva),
  • c\omega representa a parte defasada (associada ao amortecimento),
  • o denominador é a magnitude da impedância dinâmica.

Passo 3

Calculemos parâmetros úteis para interpretar as curvas.
A frequência natural não amortecida é
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{4000}{10}}=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{rad/s}.
O limite em baixa frequência ( \omega\to0) dá
X(0)=\frac{F_0}{k}=\frac{200}{4000}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Para \omega muito grande a amplitude decai aproximadamente como X\sim \dfrac{F_0}{m\omega^2} (decresce rápido, ordem 1/\omega^2).

Passo 4

Definimos o coeficiente de amortecimento adimensional (razão de amortecimento):
\zeta=\frac{c}{2m\omega_n}.
Calculemos \zeta para cada c. Note que 2m\omega_n=2\cdot 10\cdot 20=400.
  • Para c=40:
\zeta=\frac{40}{400}=0{,}1.
  • Para c=200:
\zeta=\frac{200}{400}=0{,}5.
  • Para c=400:
\zeta=\frac{400}{400}=1{,}0.
  • Para c=800:
\zeta=\frac{800}{400}=2{,}0.
Comentários rápidos: \zeta<1 indica subamortecido, \zeta=1 criticamente amortecido, \zeta>1 sobreamortecido.

Passo 5

Ressonância (pico da resposta em frequência) ocorre somente se o amortecimento for pequeno o bastante. A frequência de pico (quando existe) é dada por
\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2},
válida somente se 1-2\zeta^2>0, isto é se \zeta<\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071. Vamos verificar:
  • Para c=40 temos \zeta=0{,}1<0{,}7071, logo há pico e
\omega_r=20\sqrt{1-2(0{,}1)^2}=20\sqrt{0{,}98}\approx 19{,}799\\ \mathrm{rad/s}.
  • Para c=200 temos \zeta=0{,}5<0{,}7071, logo há pico e
\omega_r=20\sqrt{1-2(0{,}5)^2}=20\sqrt{0{,}5}\approx 14{,}142\\ \mathrm{rad/s}.
  • Para c=400 ( \zeta=1{,}0) e c=800 ( \zeta=2{,}0) temos 1-2\zeta^2\le 0, portanto a expressão acima não fornece frequência de pico (não há pico de ressonância pronunciado nesses casos).

Passo 6

Calculemos amplitudes representativas para comparação (usando a fórmula de X(\omega)).
Amplitude no pico (ou perto dele) e amplitude em \omega=\omega_n:
  • Valor limite em baixa frequência já dado: X(0)=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Amplitude em \omega=\omega_n=20\\ \mathrm{rad/s}:
X(\omega_n)=\frac{F_0}{c\,\omega_n}=\frac{200}{c\cdot 20}=\frac{10}{c}.
Logo:
  • Para c=40: X(20)=\dfrac{200}{40\cdot 20}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Para c=200: X(20)=\dfrac{200}{200\cdot 20}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Para c=400: X(20)=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Para c=800: X(20)=0{,}0125\\ \mathrm{m}.
  • Amplitude no pico \omega_r (quando existe): usamos a fórmula completa \displaystyle X(\omega)=\frac{200}{\sqrt{(4000-10\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
    • Para c=40, em \omega_r\approx 19{,}799:
      cálculo aproximado (expliquei como obter numericamente):
      m\omega_r^2=10\cdot(19{,}799)^2\approx 3920, então k-m\omega_r^2\approx 80 e c\omega_r\approx 792. Assim
      X(\omega_r)\approx\frac{200}{\sqrt{80^2+792^2}}\approx 0{,}2513\\ \mathrm{m}.
      Observação: este valor é muito próximo de X(20)=0{,}25\\ \mathrm{m} porque para amortecimento pequeno o pico fica perto de \omega_n.
    • Para c=200, em \omega_r\approx 14{,}142:
      m\omega_r^2=10\cdot(14{,}142)^2\approx 2000, k-m\omega_r^2\approx 2000, c\omega_r\approx 2828{,}43. Assim
      X(\omega_r)\approx\frac{200}{\sqrt{2000^2+2828{,}43^2}}\approx 0{,}05774\\ \mathrm{m}.
    • Para c=400 e c=800 não há pico de ressonância; os máximos são monótonos ou ocorrem em \omega muito baixas/altas. Valores típicos em \omega_n já listados acima.

Passo 7

Como o enunciado pede o gráfico das quatro curvas na mesma figura, aí vai um exemplo de código em Python/NumPy/Matplotlib que você pode rodar (copie e cole num Jupyter notebook ou script .py). O código gera \omega de 0 a 60\\ \mathrm{rad/s} e plota X(\omega) para cada c.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# parâmetros
m = 10.0
k = 4000.0
F0 = 200.0
cs = [40.0, 200.0, 400.0, 800.0]
omega = np.linspace(0.01, 60.0, 6000)  # evite omega=0 exato para divisão numérica

def X_of_omega(omega, c):
    denom = np.sqrt((k - m*omega**2)**2 + (c*omega)**2)
    return F0 / denom

plt.figure(figsize=(8,5))
for c in cs:
    X = X_of_omega(omega, c)
    plt.plot(omega, X, label=f'c={int\text{(c)}} N.s/m')
plt.axvline(20, color='k', linestyle='--', linewidth=0.8, label=r'\(\omega_n=20\) rad/s')
plt.xlabel(r'\(\omega\\ \mathrm{(rad/s)}\)')
plt.ylabel(r'\(X(\omega)\\ \mathrm{(m)}\)')
plt.title('Curvas da amplitude em regime permanente para vários amortecimentos')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim(0,60)
plt.ylim(0, max(0.3, plt.ylim()[1]))
plt.show()
Dicas para a figura:
  • Use escala de \omega de 0 a 60\\ \mathrm{rad/s} (3 vezes \omega_n) para ver bem o pico e a queda.
  • Adicione a linha vertical em \omega_n=20\\ \mathrm{rad/s} para referência.
  • Repare que a curva c=40 apresenta o pico mais acentuado perto de 20\\ \mathrm{rad/s}, c=200 tem pico mais amortecido e deslocado para \approx14{,}14\\ \mathrm{rad/s}, enquanto c=400 e c=800 não mostram pico pronunciado.

Passo 8

Resumo interpretativo — pontos-chave que você deverá verificar no gráfico quando rodar o código:
  • Limite estático: todas as curvas tendem a X(0)=0{,}05\\ \mathrm{m} quando \omega\to0.
  • Para pequenas \omega as amplitudes são próximas a 0{,}05\\ \mathrm{m}; para \omega perto de \omega_n a amplitude depende fortemente de c: menor c → pico maior.
  • As quatro curvas permitem comparar diretamente o efeito do amortecimento: c=40 (pico pronunciado, \zeta=0{,}1), c=200 (pico mais amortecido, \zeta=0{,}5), c=400 ( \zeta=1) e c=800 ( \zeta=2).

Resposta

\omega_n=20\\ \mathrm{rad/s}.\n
\zeta(c=40)=0{,}1,\\ \zeta(c=200)=0{,}5,\\ \zeta(c=400)=1{,}0,\\ \zeta(c=800)=2{,}0.\n
Existe pico de ressonância para c=40 e c=200 (pois \zeta<1/\sqrt{2}); \omega_r(c=40)\approx 19{,}799\\ \mathrm{rad/s},\; X(\omega_r)\approx 0{,}2513\\ \mathrm{m}.\n
\omega_r(c=200)\approx 14{,}142\\ \mathrm{rad/s},\; X(\omega_r)\approx 0{,}05774\\ \mathrm{m}.\n
Valores em \omega=\omega_n: X(20) é 0{,}25\\ \mathrm{m} para c=40, 0{,}05\\ \mathrm{m} para c=200, 0{,}025\\ \mathrm{m} para c=400 e 0{,}0125\\ \mathrm{m} para c=800.\n
Use o código Python fornecido para gerar o gráfico com as quatro curvas na mesma figura.

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