Considere um sistema amortecido
e
submetido a uma força
. Plote na mesma figura as curvas do ângulo de fase da resposta em regime permanente pela frequência
para
N.s
e
.
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola-amortecedor forçado e pede para plotar, na mesma figura, as curvas do ângulo de fase da resposta em regime permanente em função da frequência
para quatro valores de amortecimento. Dados fornecidos:
Os valores de amortecimento solicitados são
O que se pede: para cada
acima, obter a função que dá o ângulo de fase da resposta em regime permanente (função de
) e apresentar as quatro curvas na mesma figura.
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento para deslocamento
:
onde
. Vou explicar o método de fasores (complexo) para achar a resposta em regime permanente de forma direta e sem pular etapas.
Conceito de fasor e solução em regime permanente:
- Procuramos uma solução particular da forma
, onde é a amplitude e o ângulo de fase (o deslocamento normalmente atrasa a força). - Em linguagem de fasores representamos a força por
e a resposta por com complexo. A razão complexa é a função de transferência (mobilidade complexa) do sistema.
Passando para notação complexa (sem perder significado físico):
- A impedância (ou rigidez complexa) do sistema é
. - O deslocamento complexo é
Aqui
é a unidade imaginária,
. O módulo
dá a amplitude
e o argumento
dá a defasagem complexa (com sinal). Como a força foi tomada como referência com ângulo
, a defasagem do deslocamento (o quanto ele atrasa) é
Passo 3
Cálculo explícito da fase. Observando a forma de
,
com
O argumento de
é o negativo do argumento do denominador, ou seja
É mais prático usar a função
(que cuida do sinal do numerador e do denominador e dá o ângulo no quadrante correto). O argumento do denominador é
. Portanto
No entanto, é comum representar a defasagem como um ângulo positivo de atraso (ou seja, quantos graus o deslocamento fica atrás da força). Se quisermos este ângulo de atraso positivo, definimos
que varia tipicamente de
até
(em radianos), passando por
quando
. Em palavras: à medida que a frequência cresce, o deslocamento passa de estar em fase com a força (
) para estar defasado em
rad (180°).
Observação didática sobre
:
- A função
calcula o ângulo cujo seno/projeção corresponde a e cosseno a , devolvendo um valor contínuo no intervalo . Usamos para obter o ângulo correto sem ambiguidade de quadrantes; evitar usar apenas , pois aí perde-se a informação de sinal do denominador e o resultado pode ficar com salto indevido de .
Passo 4
Calculemos constantes úteis, que ajudam a interpretar os gráficos:
- Frequência natural (sem amortecimento):
- Razão de amortecimento
:
Para cada
:
Interpretação rápida:
é pouco amortecido,
moderado,
crítico e
superamortecido.
Passo 5
Como traçar as curvas na prática (instruções passo a passo e código exequível). Vou sugerir um intervalo de frequências e mostrar o código em Python para gerar a figura. Escolhemos
de
a
(ou seja, até
), que mostra bem a transição de fase em torno de
. No eixo você pode plotar em radianos ou converter para graus (mais intuitivo). Exemplo de código (Python + matplotlib):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# parâmetros
m = 10.0
k = 4000.0
F0 = 200.0
cs = [40.0, 200.0, 400.0, 800.0]
# vetor de frequências (rad/s)
omega_n = np.sqrt(k/m)
omega = np.linspace(0.0, 3*omega_n, 2000) # 0..60 rad/s
plt.figure(figsize=(8,5))
for c in cs:
R = k - m*omega**2
I = c*omega
# atan2(I, R) dá o ângulo positivo de atraso em radianos (0..pi)
phi = np.arctan2(I, R)
plt.plot(omega, np.degrees(phi), label=f'c={c} N.s/m (zeta={c/400:.2f})')
plt.axvline(omega_n, color='k', linestyle='--', linewidth=0.8, label=r'\(\omega_n\)')
plt.xlabel(r'\(\omega\) (rad/s)')
plt.ylabel('ângulo de fase (graus)')
plt.title('Ângulo de fase da resposta em regime permanente vs frequência')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xlim(0, 3*omega_n)
plt.ylim(-5, 185)
plt.show()
Explicação do código (passo a passo):
- Construímos um vetor
fino para ter curvas suaves. - Para cada
calculamos e . - Usamos
np.arctan2(I,R)para obterem radianos e depois convertemos para graus com np.degrees. - Marcamos
com linha tracejada; como razão de verificação, em teremos para todos os . - Os limites dos eixos e a grade ajudam a ler o gráfico.
Passo 6
Interpretações e pontos de verificação que você pode checar no gráfico (para saber se está tudo certo):
- Em
espera-se (deslocamento em fase com a força), pois e . - Em
, temos , então (exatamente rad), independentemente de . - Para
, e mas domina negativamente, de modo que (o deslocamento tende a ficar em oposição de fase à força). - Sistemas mais amortecidos mostram a transição de fase mais suave (o incremento de 0 a 180° é mais espalhado em
) enquanto sistemas pouco amortecidos têm uma mudança de fase mais abrupta em torno de .
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos (checagem manual com números simples):
- Para
:
- Para
:
- Para
muito grande (por exemplo ):