Considere um sistema amortecido \operatorname{com} m=10 \mathrm{~kg} e k=4000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} submetido a uma força F(t)=200 \cos (\omega t). Plote na mesma figura as curvas do ângulo de fase da resposta em regime permanente pela frequência \omega para c=40 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}, c=200 N.s / \mathrm{m}, c=400 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m} e c=800 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola-amortecedor forçado e pede para plotar, na mesma figura, as curvas do ângulo de fase da resposta em regime permanente em função da frequência \omega para quatro valores de amortecimento. Dados fornecidos:
m=10\\ \mathrm{kg},\qquad k=4000\\ \mathrm{N/m},\qquad F(t)=200\cos(\omega t).
Os valores de amortecimento solicitados são
c\in\{40,\\\ 200,\\\ 400,\\\ 800\}\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
O que se pede: para cada c acima, obter a função que dá o ângulo de fase da resposta em regime permanente (função de \omega) e apresentar as quatro curvas na mesma figura.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento para deslocamento x(t):
m\ddot x + c\dot x + kx = F_0\cos(\omega t),
onde F_0=200\\ \mathrm{N}. Vou explicar o método de fasores (complexo) para achar a resposta em regime permanente de forma direta e sem pular etapas.
Conceito de fasor e solução em regime permanente:
  • Procuramos uma solução particular da forma x_p(t)=X\cos(\omega t-\varphi), onde X é a amplitude e \varphi o ângulo de fase (o deslocamento normalmente atrasa a força).
  • Em linguagem de fasores representamos a força por F_0 e^{j\omega t} e a resposta por \tilde X e^{j\omega t} com \tilde X complexo. A razão complexa \tilde X/F_0 é a função de transferência (mobilidade complexa) do sistema.
Passando para notação complexa (sem perder significado físico):
  • A impedância (ou rigidez complexa) do sistema é k - m\omega^2 + j c\omega.
  • O deslocamento complexo é
\tilde X(\omega)=\frac{F_0}{k - m\omega^2 + j c\omega}.
Aqui j é a unidade imaginária, j^2=-1. O módulo |\tilde X| dá a amplitude X e o argumento \arg(\tilde X) dá a defasagem complexa (com sinal). Como a força foi tomada como referência com ângulo 0, a defasagem do deslocamento (o quanto ele atrasa) é
\varphi(\omega)=\arg\big(\tilde X(\omega)\big).

Passo 3

Cálculo explícito da fase. Observando a forma de \tilde X,
\tilde X(\omega)=\frac{F_0}{k - m\omega^2 + j c\omega} = \frac{F_0}{R(\omega)+j I(\omega)},
com
R(\omega)=k - m\omega^2,\qquad I(\omega)=c\omega.
O argumento de \tilde X é o negativo do argumento do denominador, ou seja
\varphi(\omega) = -\arg\big(R(\omega)+jI(\omega)\big).
É mais prático usar a função \operatorname{atan2} (que cuida do sinal do numerador e do denominador e dá o ângulo no quadrante correto). O argumento do denominador é \operatorname{atan2}(I(\omega),R(\omega)). Portanto
\varphi(\omega) = -\operatorname{atan2}\big(c\omega,\;k - m\omega^2\big).
No entanto, é comum representar a defasagem como um ângulo positivo de atraso (ou seja, quantos graus o deslocamento fica atrás da força). Se quisermos este ângulo de atraso positivo, definimos
\varphi(\omega)=\operatorname{atan2}\big(c\omega,\;k - m\omega^2\big),
que varia tipicamente de \varphi(0)=0 até \varphi(\omega\to\infty)=\pi (em radianos), passando por \varphi(\omega=\omega_n)=\pi/2 quando k-m\omega^2=0. Em palavras: à medida que a frequência cresce, o deslocamento passa de estar em fase com a força ( 0) para estar defasado em \pi rad (180°).
Observação didática sobre \operatorname{atan2}:
  • A função \operatorname{atan2}(y,x) calcula o ângulo cujo seno/projeção corresponde a y e cosseno a x, devolvendo um valor contínuo no intervalo (-\pi,\pi]. Usamos \operatorname{atan2}(c\omega,\,k-m\omega^2) para obter o ângulo correto sem ambiguidade de quadrantes; evitar usar apenas \arctan\big(\tfrac{c\omega}{k-m\omega^2}\big), pois aí perde-se a informação de sinal do denominador e o resultado pode ficar com salto indevido de \pi.

Passo 4

Calculemos constantes úteis, que ajudam a interpretar os gráficos:
  • Frequência natural (sem amortecimento):
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{4000}{10}}=\sqrt{400}=20\\ \text{rad/s}.
  • Razão de amortecimento \zeta:
\zeta=\frac{c}{2m\omega_n}=\frac{c}{2\cdot 10\cdot 20}=\frac{c}{400}.
Para cada c:
\begin{aligned} c=40 &\Rightarrow \zeta=0{,}1,\\\ c=200 &\Rightarrow \zeta=0{,}5,\\\ c=400 &\Rightarrow \zeta=1{,}0,\\\ c=800 &\Rightarrow \zeta=2{,}0. \end{aligned}
Interpretação rápida: c=40 é pouco amortecido, c=200 moderado, c=400 crítico e c=800 superamortecido.

Passo 5

Como traçar as curvas na prática (instruções passo a passo e código exequível). Vou sugerir um intervalo de frequências e mostrar o código em Python para gerar a figura. Escolhemos \omega de 0 a 3\omega_n (ou seja, até 60\\ \text{rad/s}), que mostra bem a transição de fase em torno de \omega_n. No eixo você pode plotar em radianos ou converter para graus (mais intuitivo). Exemplo de código (Python + matplotlib):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# parâmetros
m = 10.0
k = 4000.0
F0 = 200.0
cs = [40.0, 200.0, 400.0, 800.0]

# vetor de frequências (rad/s)
omega_n = np.sqrt(k/m)
omega = np.linspace(0.0, 3*omega_n, 2000)  # 0..60 rad/s

plt.figure(figsize=(8,5))
for c in cs:
    R = k - m*omega**2
    I = c*omega
    # atan2(I, R) dá o ângulo positivo de atraso em radianos (0..pi)
    phi = np.arctan2(I, R)
    plt.plot(omega, np.degrees(phi), label=f'c={c} N.s/m (zeta={c/400:.2f})')

plt.axvline(omega_n, color='k', linestyle='--', linewidth=0.8, label=r'\(\omega_n\)')
plt.xlabel(r'\(\omega\) (rad/s)')
plt.ylabel('ângulo de fase (graus)')
plt.title('Ângulo de fase da resposta em regime permanente vs frequência')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xlim(0, 3*omega_n)
plt.ylim(-5, 185)
plt.show()
Explicação do código (passo a passo):
  • Construímos um vetor \omega fino para ter curvas suaves.
  • Para cada c calculamos R(\omega)=k-m\omega^2 e I(\omega)=c\omega.
  • Usamos np.arctan2(I,R) para obter \varphi(\omega)=\operatorname{atan2}(c\omega,\,k-m\omega^2) em radianos e depois convertemos para graus com np.degrees.
  • Marcamos \omega_n com linha tracejada; como razão de verificação, em \omega=\omega_n teremos \varphi=90^\circ para todos os c>0.
  • Os limites dos eixos e a grade ajudam a ler o gráfico.

Passo 6

Interpretações e pontos de verificação que você pode checar no gráfico (para saber se está tudo certo):
  • Em \omega=0 espera-se \varphi(0)=0^\circ (deslocamento em fase com a força), pois I(0)=0 e R(0)=k>0.
  • Em \omega=\omega_n=20\\ \text{rad/s}, temos R=0, então \varphi=\operatorname{atan2}(c\omega_n,0)=90^\circ (exatamente \pi/2 rad), independentemente de c>0.
  • Para \omega\to\infty, R\to -\infty e I\to +\infty mas R domina negativamente, de modo que \varphi\to 180^\circ (o deslocamento tende a ficar em oposição de fase à força).
  • Sistemas mais amortecidos mostram a transição de fase mais suave (o incremento de 0 a 180° é mais espalhado em \omega) enquanto sistemas pouco amortecidos têm uma mudança de fase mais abrupta em torno de \omega_n.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos (checagem manual com números simples):
  • Para \omega=0:
\varphi(0)=\operatorname{atan2}(0,\,k)=0.
  • Para \omega=\omega_n=20:
\varphi(\omega_n)=\operatorname{atan2}\big(c\cdot 20,\\\ 0\big)=90^\circ.
  • Para \omega muito grande (por exemplo \omega=100\\ \mathrm{rad/s}):
R=k-m\omega^2=4000-10\cdot 100^2=4000-100000=-96000,
I=c\omega\\ \text{(por exemplo para \(c=200\))}=200\cdot 100=20000,
\varphi\approx\operatorname{atan2}(20000,-96000)\approx 168^\circ\\ (\text{próximo de }180^\circ).ó

Resposta

\displaystyle \varphi(\omega)=\operatorname{atan2}\big(c\,\omega,\;k-m\omega^{2}\big) (ângulo de atraso, em radianos).\n \omega_n=\sqrt{k/m}=20\\ \mathrm{rad/s}.\n \zeta=\dfrac{c}{400} com valores: c=40\Rightarrow\zeta=0{,}10,\;c=200\Rightarrow\zeta=0{,}50,\;c=400\Rightarrow\zeta=1{,}00,\;c=800\Rightarrow\zeta=2{,}00.

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