Considere um sistema de controle feedback com as seguintes funções de transferência:
\begin{aligned} G_{c} & =K_{C} & G_{f} & =\frac{1}{2 s+1} \\\ G_{p}=G_{d} & =\frac{1}{5 s+1} & G_{m} & =\frac{1}{s+1} \end{aligned}
Mostre que o sistema em malha fechada produz resposta instável se o valor do ganho do controlador \mathrm{K}_{\mathrm{C}} for muito elevado. Considere uma variação degrau unitário no set point.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes funções de transferência:
G_{c}=K_{C},\qquad G_{f}=\frac{1}{2s+1},\qquad G_{p}=G_{d}=\frac{1}{5s+1},\qquad G_{m}=\frac{1}{s+1}.
O pedido é: mostrar que o sistema em malha fechada produz resposta instável se o ganho do controlador K_{C} for muito elevado. A variação de referência (set point) é um degrau unitário.
Informações relevantes a listar:
  • Todas as funções de transferência estão em domínio de Laplace ( s).
  • Assume-se a configuração clássica de realimentação negativa em que o caminho direto (forward) é a série G_{c}\,G_{f}\,G_{p} e a realimentação passa pelo sensor G_{m}. (A função G_{d} é igual a G_{p} mas não é necessária para a análise de estabilidade frente ao set point.)
  • Precisamos analisar a estabilidade da malha fechada em função de K_{C}; portanto iremos obter o polinômio característico e aplicar um critério de estabilidade (Routh–Hurwitz), para ver para quais valores de K_{C} aparecem polos no semiplano direito.

Passo 2

Montar a função de malha aberta (open-loop) L(s) como o produto dos blocos no caminho direto multiplicado pelo sensor na realimentação, isto é:
L(s)=G_{c}\,G_{f}\,G_{p}\,G_{m}.
Explicação rápida (didática): em realimentação negativa clássica, a contribuição total que multiplica a referência na função de transferência em laço aberto é o produto das TFs do caminho direto e da TF do caminho de medição quando se busca o denominador do laço fechado. Assim, substituindo os valores dados:
L(s)=K_{C}\cdot\frac{1}{2s+1}\cdot\frac{1}{5s+1}\cdot\frac{1}{s+1}.

Passo 3

Escrever explicitamente L(s) simplificado:
L(s)=\frac{K_{C}}{(2s+1)(5s+1)(s+1)}.
A função de transferência em malha fechada da referência para a saída é
T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}.
A condição de estabilidade da malha fechada vem do polinômio característico
1+L(s)=0.
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum (2s+1)(5s+1)(s+1) obtemos o polinômio característico em forma polinomial.

Passo 4

Calcular explicitamente o produto (2s+1)(5s+1)(s+1) passo a passo (sem pular etapa):
Primeiro:
(2s+1)(5s+1)=10s^{2}+7s+1.
Agora multiplica por (s+1):
(10s^{2}+7s+1)(s+1)=10s^{3}+10s^{2}+7s^{2}+7s+1\cdot s+1\cdot1.
Agrupando termos semelhantes:
(2s+1)(5s+1)(s+1)=10s^{3}+(10+7)s^{2}+(7+1)s+1 = 10s^{3}+17s^{2}+8s+1.

Passo 5

Formar o polinômio característico completo usando 1+L(s)=0. Multiplicando, obtemos
(2s+1)(5s+1)(s+1)+K_{C}=0,
ou seja
10s^{3}+17s^{2}+8s+1+K_{C}=0.
Escrevendo no formato padrão para um polinômio cúbico
a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0,
temos
a_{3}=10,\qquad a_{2}=17,\qquad a_{1}=8,\qquad a_{0}=1+K_{C}.
Explicação didática: esses a_{i} são os coeficientes do polinômio característico; a estabilidade depende de onde as raízes desse polinômio estão no plano complexo.

Passo 6

Aplicar o critério de Routh–Hurwitz para polinômio cúbico. Para um polinômio
a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0},
o critério de estabilidade (condição suficiente e necessária para grau 3) requer que todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh sejam positivos. A tabela de Routh (construída passo a passo) fica:
Linha s^{3}: a_{3}=10 \quad e \quad a_{1}=8.
Linha s^{2}: a_{2}=17 \quad e \quad a_{0}=1+K_{C}.
Linha s^{1}: elemento da primeira coluna calculado por
\frac{a_{2}\,a_{1}-a_{3}\,a_{0}}{a_{2}}=\frac{17\cdot 8-10\cdot(1+K_{C})}{17}.
Calcule o numerador:
17\cdot 8-10\cdot(1+K_{C})=136-10-10K_{C}=126-10K_{C}.
Portanto o elemento da linha s^{1} é \dfrac{126-10K_{C}}{17}.
Linha s^{0}: a_{0}=1+K_{C}.

Passo 7

Escrever as condições de estabilidade exigidas pela tabela de Routh (cada elemento da primeira coluna deve ser estritamente positivo):
  1. a_{3}=10>0 (sempre verdadeiro).
  2. a_{2}=17>0 (sempre verdadeiro).
  3. \dfrac{126-10K_{C}}{17}>0 \quad\Rightarrow\quad 126-10K_{C}>0 \quad\Rightarrow\quad K_{C}<12{,}6.
  4. a_{0}=1+K_{C}>0 \quad\Rightarrow\quad K_{C}>-1.
Como normalmente consideramos ganhos positivos ( K_{C}\ge 0), a condição relevante é
K_{C}<12{,}6.
Se K_{C}\ge 12{,}6 a linha s^{1} ficará nula ou negativa, indicando existência de pelo menos uma raiz com parte real positiva (instabilidade). Para K_{C}>12{,}6 há uma mudança de sinal na primeira coluna da tabela de Routh → pelo menos um pólo no semiplano direito.

Passo 8

Interpretação física e conclusão sobre o degrau unitário: a resposta ao degrau unitário é dada por
Y(s)=T(s)\cdot \frac{1}{s},
com T(s)=\dfrac{L(s)}{1+L(s)}. Se a malha fechada é instável (polos no semiplano direito), a resposta ao degrau tende a crescer sem limite ou a apresentar comportamento divergente/oscilações não amortecidas — ou seja, a saída não converge para um valor finito. Portanto, para valores muito altos de K_{C} (acima de 12{,}6) o sistema em malha fechada ficará instável e a resposta ao degrau unitário não será bem-comportada.

Resposta

O sistema em malha fechada fica instável para K_{C}>12{,}6.

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