Considere um sistema de controle feedback com as seguintes funções de transferência:
Mostre que o sistema em malha fechada produz resposta instável se o valor do ganho do controlador
for muito elevado. Considere uma variação degrau unitário no set point.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes funções de transferência:
O pedido é: mostrar que o sistema em malha fechada produz resposta instável se o ganho do controlador
for muito elevado. A variação de referência (set point) é um degrau unitário.
Informações relevantes a listar:
Informações relevantes a listar:
- Todas as funções de transferência estão em domínio de Laplace (
). - Assume-se a configuração clássica de realimentação negativa em que o caminho direto (forward) é a série
e a realimentação passa pelo sensor . (A função é igual a mas não é necessária para a análise de estabilidade frente ao set point.) - Precisamos analisar a estabilidade da malha fechada em função de
; portanto iremos obter o polinômio característico e aplicar um critério de estabilidade (Routh–Hurwitz), para ver para quais valores de aparecem polos no semiplano direito.
Passo 2
Montar a função de malha aberta (open-loop)
como o produto dos blocos no caminho direto multiplicado pelo sensor na realimentação, isto é:
Explicação rápida (didática): em realimentação negativa clássica, a contribuição total que multiplica a referência na função de transferência em laço aberto é o produto das TFs do caminho direto e da TF do caminho de medição quando se busca o denominador do laço fechado. Assim, substituindo os valores dados:
Passo 3
Escrever explicitamente
simplificado:
A função de transferência em malha fechada da referência para a saída é
A condição de estabilidade da malha fechada vem do polinômio característico
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
obtemos o polinômio característico em forma polinomial.
Passo 4
Calcular explicitamente o produto
passo a passo (sem pular etapa):
Primeiro:
Primeiro:
Agora multiplica por
:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Formar o polinômio característico completo usando
. Multiplicando, obtemos
ou seja
Escrevendo no formato padrão para um polinômio cúbico
temos
Explicação didática: esses
são os coeficientes do polinômio característico; a estabilidade depende de onde as raízes desse polinômio estão no plano complexo.
Passo 6
Aplicar o critério de Routh–Hurwitz para polinômio cúbico. Para um polinômio
o critério de estabilidade (condição suficiente e necessária para grau 3) requer que todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh sejam positivos. A tabela de Routh (construída passo a passo) fica:
Linha
:
\quad e \quad
.
Linha :
\quad e \quad
.
Linha : elemento da primeira coluna calculado por
Linha
Linha
Calcule o numerador:
Portanto o elemento da linha
é
.
Linha :
.
Linha
Passo 7
Escrever as condições de estabilidade exigidas pela tabela de Routh (cada elemento da primeira coluna deve ser estritamente positivo):
-
(sempre verdadeiro). -
(sempre verdadeiro). -
-
Como normalmente consideramos ganhos positivos (
), a condição relevante é
Se
a linha
ficará nula ou negativa, indicando existência de pelo menos uma raiz com parte real positiva (instabilidade). Para
há uma mudança de sinal na primeira coluna da tabela de Routh → pelo menos um pólo no semiplano direito.
Passo 8
Interpretação física e conclusão sobre o degrau unitário: a resposta ao degrau unitário é dada por
com
. Se a malha fechada é instável (polos no semiplano direito), a resposta ao degrau tende a crescer sem limite ou a apresentar comportamento divergente/oscilações não amortecidas — ou seja, a saída não converge para um valor finito. Portanto, para valores muito altos de
(acima de
) o sistema em malha fechada ficará instável e a resposta ao degrau unitário não será bem-comportada.
Resposta
O sistema em malha fechada fica instável para
.