Seja o tanque com \mathrm{A}=10 \mathrm{ft}^{2} onde o nível \mathrm{h}(\mathrm{t}) é controlado manipulando-se a vazão volumétrica de saída \mathrm{F}_{1}(\mathrm{t}). Suponha \mathrm{G}_{\mathrm{m}}=1 e controlador proporcional com ação reversa. A válvula é do tipo ar-para-fechar: \mathrm{G}_{\mathrm{f}}=-\left(\mathrm{K}_{\mathrm{f}}\right) \operatorname{com} \mathrm{K}_{\mathrm{f}}>0.
Suponha que um degrau unitário é dado no set-point, enquanto a carga é mantida constante.
Mostre que não há offset mesmo sendo controlador P .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Área do tanque: A=10\\ \mathrm{ft}^2.
    • O nível do líquido é h(t).
    • A vazão de entrada (carga) é \mathrm{F}_i(t) e é mantida constante (não sofre variação durante o experimento).
    • A vazão de saída manipulada é \mathrm{F}_1(t) (é a variável manipulada).
    • Ganho do medidor (sensor) \mathrm{G}_m = 1 (medição direta de h).
    • Controlador proporcional com ação reversa (ou seja, a lei de controle introduz um sinal invertido em relação ao erro).
    • A válvula é do tipo ar-para-fechar, com \mathrm{G}_f = -K_f e K_f>0.
    • Um degrau unitário é aplicado no set-point r(t) (ou seja, r(t) salta de 0 para 1), enquanto a carga \mathrm{F}_i(t) é mantida constante.
  • O que é pedido:
    • Mostrar que não há offset (erro em regime permanente nulo) mesmo usando controlador proporcional, no caso do degrau unitário no set-point com a carga constante.

Passo 2

Modelo dinâmico do tanque (balanço de massa) — dedução e significado dos termos.
  • Interpretação física: a variação do volume de líquido no tanque (ou do nível) é proporcional à diferença entre vazão de entrada e vazão de saída.
  • Escrevemos o balanço de massa (assumindo densidade constante e geometria tal que área A é constante): A\frac{dh(t)}{dt} = F_i(t) - F_1(t).Explicando cada termo:
    • A\frac{dh}{dt} é a taxa de variação do volume (área vezes variação de altura).
    • F_i(t) é a vazão de entrada (carga).
    • F_1(t) é a vazão de saída (manipulada pelo controlador/atuador).

Passo 3

Lei do controlador e da válvula — sinais e interpretações (muito importante para não se confundir com sinais).
  • Definição do erro:
    e(t)=r(t)-y(t)=r(t)-h(t),
    onde r(t) é o set-point e y(t)=h(t) é a saída medida (como \mathrm{G}_m=1).
  • Controlador proporcional com ação reversa:
    • “Ação reversa” significa que um aumento do erro positivo produz uma diminuição do sinal de controle. Podemos representar isso por
      u(t)= -K_c e(t),
      com K_c>0.
    • Observação de sinal: u(t) é o sinal de controle (por exemplo, sinal pneumático para a válvula).
  • Válvula do tipo “ar-para-fechar”: \mathrm{G}_f=-K_f com K_f>0. A relação entre u(t) e a vazão de saída é
    F_1(t)=G_f\,u(t)= -K_f\,u(t).
  • Combinando controlador e válvula:
    F_1(t) = -K_f \, u(t) = -K_f \big(-K_c e(t)\big) = K_f K_c\, e(t).
    Observação: dois sinais negativos (controlador reverso e válvula ar-para-fechar) resultam em sinal positivo entre erro e vazão manipulada, ou seja, um erro positivo (set-point maior que altura) produz acréscimo em F_1 conforme necessário para reduzir o nível — isso garante realimentação negativa global.

Passo 4

Equação de malha fechada no tempo e forma final da equação diferencial.
  • Substituindo F_1(t)=K_f K_c (r(t)-h(t)) no balanço: A\frac{dh(t)}{dt} = F_i(t) - K_f K_c\big(r(t)-h(t)\big).
  • Reorganizando: A\frac{dh(t)}{dt} + K_f K_c\,h(t) = F_i(t) - K_f K_c\,r(t).Essa é a equação diferencial que governa a dinâmica do nível sob controle proporcional.

Passo 5

Análise no domínio de Laplace (transformada) — propósito: achar erro em regime permanente para degrau no set-point.
  • Supondo condições iniciais nulas (ou tratando o problema de variação), tome a transformada de Laplace:
    A s H(s) + K_f K_c H(s) = F_i(s) - K_f K_c R(s).
    Agrupando H(s):
    H(s)\big(A s + K_f K_c\big) = F_i(s) - K_f K_c R(s).
    Portanto
    H(s) = \frac{F_i(s) - K_f K_c R(s)}{A s + K_f K_c}.
  • Queremos o erro E(s)=R(s)-H(s). Substituímos H(s):
    E(s)=R(s)-\frac{F_i(s) - K_f K_c R(s)}{A s + K_f K_c}.

Passo 6

Cálculo do erro em regime permanente usando o Teorema do Valor Final (caso do degrau unitário no set-point).
  • Assuma set-point degrau unitário: R(s)=\dfrac{1}{s}.
  • A carga \mathrm{F}_i(t) é mantida constante. Em particular, se a carga NÃO muda no instante do degrau de set-point (isto é, não há perturbação em forma de degrau), então a transformada de F_i(t) é F_i(s)=\dfrac{F_{i0}}{s} com F_{i0} constante (poderá ser zero se não houver vazão de entrada).
  • Usamos o teorema do valor final para o erro:
    e_{\infty} = \lim_{t\to\infty} e(t) = \lim_{s\to 0} sE(s).
  • Substituímos E(s) e R(s)=1/s, F_i(s)=F_{i0}/s:
    E(s)=\frac{1}{s}-\frac{\dfrac{F_{i0}}{s}-K_fK_c\dfrac{1}{s}}{A s + K_fK_c}.
    Coloque tudo com denominador comum (não é necessário desenvolver tudo; vamos aplicar s\to0 cuidadosamente).
  • Aplicando o limite s\to0. Observe que A s + K_fK_c \to K_fK_c quando s\to 0, mas existe também termos com 1/s. Um modo mais direto é partir da equação em regime permanente (tempo infinito), onde \dfrac{dh}{dt}=0. Isso evita manipulação algébrica pesada e dá a mesma resposta:
    Em regime permanente ( dh/dt=0):
    0 = F_{i0} - K_f K_c\big(r_{\infty} - h_{\infty}\big).
    Logo,
    K_f K_c\,(r_{\infty}-h_{\infty}) = F_{i0}.
    Portanto o erro em regime permanente é
    e_{\infty} = r_{\infty}-h_{\infty} = \frac{F_{i0}}{K_f K_c}.

Passo 7

Interpretação do resultado e conclusão sobre “offset”.
  • Resultado generalizado:
    e_{\infty} = \frac{F_{i0}}{K_f K_c}.
    • Se houver uma vazão de entrada constante F_{i0} não nula, então com controlador proporcional puro existe um offset em regime permanente proporcional a F_{i0} e inversamente proporcional ao ganho em malha ( K_f K_c). Ou seja, com perturbação de vazão constante, o controlador P sozinho NÃO elimina totalmente o erro: o offset é \dfrac{F_{i0}}{K_fK_c}.
    • Se NÃO houver perturbação (isto é, F_{i0}=0), então e_{\infty}=0,ou seja, não há offset para um degrau no set-point.
  • Por que isso acontece (intuição didática):
    • Do ponto de vista da dinâmica, a planta vista a partir do sinal de manipulação u tem um integrador (o termo 1/(A s) ou, no tempo, A dh/dt). Esse integrador faz com que a resposta a um degrau de referência possa ser perfeitamente acompanhada (ganho de posição infinito para entradas em rampa? mais precisamente, sistema tipo 1 dá erro nulo para degrau de referência). Assim, se a única mudança for no set-point (sem alteração na carga), a malha consegue ajustar F_1 até que h atinja r — logo, sem offset.
    • Entretanto, uma perturbação contínua (fluxo de entrada constante) aparece na equação como uma fonte que o controlador proporcional não integra; para anular totalmente essa perturbação sem erro seria necessário ação integral (I) ou ganho proporcional infinito. Com P puro, o melhor que se consegue é reduzir o erro aumentando K_c, mas ele não chega a zero se F_{i0}\neq0.

Resposta

Se não houver perturbação (ou seja, F_{i0}=0), então e_{\infty}=0 (não há offset).
Se houver vazão de entrada constante F_{i0}\neq0, o offset em regime permanente é
e_{\infty}=\frac{F_{i0}}{K_f K_c}.

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