Seja o tanque com
onde o nível
é controlado manipulando-se a vazão volumétrica de saída
. Suponha
e controlador proporcional com ação reversa. A válvula é do tipo ar-para-fechar:
.
Suponha que um degrau unitário é dado no set-point, enquanto a carga é mantida constante.
Mostre que não há offset mesmo sendo controlador P .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
-
Dados fornecidos:
- Área do tanque:
. - O nível do líquido é
. - A vazão de entrada (carga) é
e é mantida constante (não sofre variação durante o experimento). - A vazão de saída manipulada é
(é a variável manipulada). - Ganho do medidor (sensor)
(medição direta de ). - Controlador proporcional com ação reversa (ou seja, a lei de controle introduz um sinal invertido em relação ao erro).
- A válvula é do tipo ar-para-fechar, com
e . - Um degrau unitário é aplicado no set-point
(ou seja, salta de 0 para 1), enquanto a carga é mantida constante.
- Área do tanque:
-
O que é pedido:
- Mostrar que não há offset (erro em regime permanente nulo) mesmo usando controlador proporcional, no caso do degrau unitário no set-point com a carga constante.
Passo 2
Modelo dinâmico do tanque (balanço de massa) — dedução e significado dos termos.
- Interpretação física: a variação do volume de líquido no tanque (ou do nível) é proporcional à diferença entre vazão de entrada e vazão de saída.
- Escrevemos o balanço de massa (assumindo densidade constante e geometria tal que área
é constante): Explicando cada termo: -
é a taxa de variação do volume (área vezes variação de altura). -
é a vazão de entrada (carga). -
é a vazão de saída (manipulada pelo controlador/atuador).
-
Passo 3
Lei do controlador e da válvula — sinais e interpretações (muito importante para não se confundir com sinais).
-
Definição do erro:onde
é o set-point e é a saída medida (como ). -
Controlador proporcional com ação reversa:
-
“Ação reversa” significa que um aumento do erro positivo produz uma diminuição do sinal de controle. Podemos representar isso porcom
. -
Observação de sinal:
é o sinal de controle (por exemplo, sinal pneumático para a válvula).
-
-
Válvula do tipo “ar-para-fechar”:
com . A relação entre e a vazão de saída é -
Combinando controlador e válvula:Observação: dois sinais negativos (controlador reverso e válvula ar-para-fechar) resultam em sinal positivo entre erro e vazão manipulada, ou seja, um erro positivo (set-point maior que altura) produz acréscimo em
conforme necessário para reduzir o nível — isso garante realimentação negativa global.
Passo 4
Equação de malha fechada no tempo e forma final da equação diferencial.
- Substituindo
no balanço: - Reorganizando:
Essa é a equação diferencial que governa a dinâmica do nível sob controle proporcional.
Passo 5
Análise no domínio de Laplace (transformada) — propósito: achar erro em regime permanente para degrau no set-point.
-
Supondo condições iniciais nulas (ou tratando o problema de variação), tome a transformada de Laplace:Agrupando
: Portanto -
Queremos o erro
. Substituímos :
Passo 6
Cálculo do erro em regime permanente usando o Teorema do Valor Final (caso do degrau unitário no set-point).
-
Assuma set-point degrau unitário:
. -
A carga
é mantida constante. Em particular, se a carga NÃO muda no instante do degrau de set-point (isto é, não há perturbação em forma de degrau), então a transformada de é com constante (poderá ser zero se não houver vazão de entrada). -
Usamos o teorema do valor final para o erro:
-
Substituímos
e , : Coloque tudo com denominador comum (não é necessário desenvolver tudo; vamos aplicarcuidadosamente). -
Aplicando o limite
. Observe que quando , mas existe também termos com . Um modo mais direto é partir da equação em regime permanente (tempo infinito), onde . Isso evita manipulação algébrica pesada e dá a mesma resposta: Em regime permanente (): Logo,Portanto o erro em regime permanente é
Passo 7
Interpretação do resultado e conclusão sobre “offset”.
-
Resultado generalizado:
- Se houver uma vazão de entrada constante
não nula, então com controlador proporcional puro existe um offset em regime permanente proporcional a e inversamente proporcional ao ganho em malha ( ). Ou seja, com perturbação de vazão constante, o controlador P sozinho NÃO elimina totalmente o erro: o offset é . - Se NÃO houver perturbação (isto é,
), então ou seja, não há offset para um degrau no set-point.
- Se houver uma vazão de entrada constante
-
Por que isso acontece (intuição didática):
- Do ponto de vista da dinâmica, a planta vista a partir do sinal de manipulação
tem um integrador (o termo ou, no tempo, ). Esse integrador faz com que a resposta a um degrau de referência possa ser perfeitamente acompanhada (ganho de posição infinito para entradas em rampa? mais precisamente, sistema tipo 1 dá erro nulo para degrau de referência). Assim, se a única mudança for no set-point (sem alteração na carga), a malha consegue ajustar até que atinja — logo, sem offset. - Entretanto, uma perturbação contínua (fluxo de entrada constante) aparece na equação como uma fonte que o controlador proporcional não integra; para anular totalmente essa perturbação sem erro seria necessário ação integral (I) ou ganho proporcional infinito. Com P puro, o melhor que se consegue é reduzir o erro aumentando
, mas ele não chega a zero se .
- Do ponto de vista da dinâmica, a planta vista a partir do sinal de manipulação
Resposta
Se não houver perturbação (ou seja,
), então
(não há offset).
Se houver vazão de entrada constante , o offset em regime permanente é
Se houver vazão de entrada constante