Considere um sistema de controle no qual
GP(s) H(s)=s+2s^2+4 s+20
Deseja-se plotar o Lugar das Raízes para um controlador PI com respeito à KP. Dado que KI=10, e a equação geral
1+KP G(s)=0
qual deve ser a função G(s) ?
a) G(s)=s+2s^2+4 s+20
b) G(s)=10(s+2)s(s^2+4 s+20)
c) G(s)=s^2+4 s+20s^2(s^2+24 s+54)
d) G(s)=s^2+2 ss^3+4 s^2+30 s+20
e) G(s)=s^2+5 s+9s^3+24 s^2+54 s+120

Passo 1

Beleza, manda bala: a gente tem o plantão em malha aberta
GP(s)H(s)=s+2s^2+4s+20
e um controlador PI que é
GC(s)=KP+KIs
com 1+KP,G(s)=0;?.
O enunciado pede: como eu coloco essa malha fechada na forma

Ou seja, qual é o que multiplica no lugar das raízes (root-locus)?
Para resolver isso vamos usar:
  • A definição de controlador PI.
  • A regra de montar o laço aberto como produto .
  • O truque de escrever tudo como “ vezes alguma função fixa” para aplicar o lugar das raízes em .

Passo 2

Escrevendo o laço aberto completo:
$$L(s)=G_C(s);G_P(s)H(s)
=\Bigl(K_P+\frac{10}{s}\Bigr),\frac{s+2}{s^2+4s+20},. $$
Expandindo mentalmente, L(s)=GC(s);GP(s)H(s) =l(KP+10sr),s+2s^2+4s+20, tem duas partes:
1) a parte proporcional
2) a parte integral .

Passo 3

Para plotar o lugar das raízes em função de L(s)=KP;G(s) a gente quer escrever
G(s)=10s,s+2s^2+4s+20
com L(s)=KP;G(s),+(termo não-,$KP$), não dependendo de .
Repare que só a parte “ ” é diretamente proporcional a .
A outra parte, , não multiplica .
O que se faz em muitos exercícios é adotar como função fixa a parte integral, pois ela introduz o pólo em zero e o zero extra, essenciais para a forma do lugar das raízes.
Assim, a gente “pega”

para escrever
ã
No lugar das raízes a gente foca em .

Passo 4

Só para ficar claro, essa G(s)=10(s+2)sl(s^2+4s+20r), vale:

E é exatamente a alternativa (b).

Resposta

b) .

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