Considerando-se um controlador PI, com
, qual a faixa de
que estabiliza o sistema em malha fechada?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Temos um controlador PI com ganho proporcional
e queremos saber para que valores de
o sistema em malha fechada fica estável.”
Conteúdo que a gente vai usar: estabilidade de sistemas pelo critério de Routh–Hurwitz.
O que precisamos:
Conteúdo que a gente vai usar: estabilidade de sistemas pelo critério de Routh–Hurwitz.
O que precisamos:
- A função de transferência da planta em série com o controlador PI.
- Montar o polinômio característico do laço fechado.
- Fazer a tabela de Routh e extrair as desigualdades que garantem todos os elementos da primeira coluna positivos.
Passo 2
Primeiro montamos a FT de malha aberta
Logo
O polinômio característico de malha fechada é
Multiplicando e recolhendo em potências de
, dá
Passo 3
Agora a tabela de Routh–Hurwitz para
com
com
Montando:
s⁴ | 1 |
|
---|---|---|
s³ | 22 |
|
s² |
|
|
s¹ |
|
0 |
s⁰ |
|
— |
Onde
Mas pra ver a condição basta garantir numerador positivo; focamos em
Passo 4
As condições de estabilidade são:
- a₄=1>0 (ok)
- a₃=22>0 (ok)
-
; (já vale pra ) -
: analisando dá
Resolvendo essa inequação em
(bastante direto com álgebra ou calculadora), chega-se a
-
.
Juntando tudo:
Resposta
A faixa de
que estabiliza o sistema em malha fechada é
(Alternativa e)