Considerando-se um controlador PI, com KP=10, qual a faixa de KI que estabiliza o sistema em malha fechada?
a) 0
b) 37,53
c) KI<254,62
d) 156,52
e) 0

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Temos um controlador PI com ganho proporcional e queremos saber para que valores de o sistema em malha fechada fica estável.”
Conteúdo que a gente vai usar: estabilidade de sistemas pelo critério de Routh–Hurwitz.
O que precisamos:
  1. A função de transferência da planta em série com o controlador PI.
  2. Montar o polinômio característico do laço fechado.
  3. Fazer a tabela de Routh e extrair as desigualdades que garantem todos os elementos da primeira coluna positivos.

Passo 2

Primeiro montamos a FT de malha aberta
G(s);=;1s,(s+4)(s+8) , C(s);=;KP+KIs ;=;10+KIs
Logo
L(s);=;C(s),G(s) ;=;l(10+tfracKIsr),1s(s+4)(s+8)
O polinômio característico de malha fechada é
1+L(s);=;0 ;Longrightarrow; s(s+4)(s+8);+;10,s(s+4)(s+8);+;KI,(s+4)(s+8);=;0
Multiplicando e recolhendo em potências de s^4+12s^3+32s^2;+;10s^3+120s^2+320s;+;KI,s^2+12KI,s+32KI;=;0 , dá
Longrightarrow s^4+(12+10)s^3+(32+120+KI)s^2+(320+12KI)s+32KI=0
boxeds^4+22s^3+(152+KI)s^2+(320+12KI)s+32KI=0

Passo 3

Agora a tabela de Routh–Hurwitz para
a4=1,; a3=22,; a2=152+KI,; a1=320+12KI,; a0=32KI
com
b1=22,(152+KI)-1,(320+12KI)22 =3344+22KI-320-12KI22 =3024+10KI22 =137.4545+tfrac1022KI
Montando:
s⁴ 1 c1=b1,(320+12KI)-22,(32KI)b1 =(137.4545+tfrac1022KI)(320+12KI)-704KI137.4545+tfrac1022KI
22 d1 = 32KI>0 Longrightarrow KI>0
0
s⁰
Onde
Mas pra ver a condição basta garantir numerador positivo; focamos em

Passo 4

As condições de estabilidade são:
  1. a₄=1>0 (ok)
  2. a₃=22>0 (ok)
  3. (137.4545+tfrac1022KI)(320+12KI)>704KI ; KI<25.82 (já vale pra 0< KI <25.82 )
  4. : analisando dá
Resolvendo essa inequação em (bastante direto com álgebra ou calculadora), chega-se a
  1. .
Juntando tudo:

Resposta

A faixa de boxed0 que estabiliza o sistema em malha fechada é
(Alternativa e)

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