Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: \left[\begin{array}{rrr|r}1 & 1 & 2 & 1 \\\\ -2 & -6 & -2 & 0 \\\\ -1 & 3 & -1 & -4 \\\\ -2 & 2 & 0 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -10
(B) -9
(C) -8
(D) -7
(E) -6
(F) -5
(G) -4
(H) -3
Passo 1
O enunciado fornece a matriz aumentada do sistema linear:
O que se pede: encontrar o valor de k de modo que o sistema tenha solução (isto é, seja consistente).
Informações relevantes dadas:
A matriz dos coeficientes é composta pelas primeiras três colunas.
O vetor de termos independentes (lado direito) é dado pela última coluna \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -4\k\end{pmatrix}.
Há 4 equações e 3 incógnitas, portanto o sistema pode ser inconsistente dependendo de k.
Passo 2
Estratégia de resolução (explicação didática):
Usar eliminação de Gauss (operações elementares entre linhas) para reduzir a matriz aumentada e verificar se surge uma linha do tipo \,0\;0\;0\mid c com c\neq0. Essa linha representaria a equação impossível 0=c e tornaria o sistema inconsistente.
Lembrança útil: operações elementares entre linhas não alteram o conjunto de soluções do sistema; portanto é seguro aplicá-las para testar consistência.
Passo 3
Começar a eliminação usando a primeira linha como pivô. Subtrair múltiplos da primeira linha das demais para zerar a primeira coluna nas linhas 2, 3 e 4.