Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 1 & 2 & 1 \\\\ -2 & -6 & -2 & 0 \\\\ -1 & 3 & -1 & -4 \\\\ -2 & 2 & 0 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -10
(B) -9
(C) -8
(D) -7
(E) -6
(F) -5
(G) -4
(H) -3

Passo 1

O enunciado fornece a matriz aumentada do sistema linear:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ -2 & -6 & -2 & 0 \\\\ -1 & 3 & -1 & -4 \\\\ -2 & 2 & 0 & k \end{array}\right]
O que se pede: encontrar o valor de k de modo que o sistema tenha solução (isto é, seja consistente).
Informações relevantes dadas:
  • A matriz dos coeficientes é composta pelas primeiras três colunas.
  • O vetor de termos independentes (lado direito) é dado pela última coluna \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -4\k\end{pmatrix}.
  • 4 equações e 3 incógnitas, portanto o sistema pode ser inconsistente dependendo de k.

Passo 2

Estratégia de resolução (explicação didática):
  • Usar eliminação de Gauss (operações elementares entre linhas) para reduzir a matriz aumentada e verificar se surge uma linha do tipo \,0\;0\;0\mid c com c\neq0. Essa linha representaria a equação impossível 0=c e tornaria o sistema inconsistente.
  • Lembrança útil: operações elementares entre linhas não alteram o conjunto de soluções do sistema; portanto é seguro aplicá-las para testar consistência.

Passo 3

Começar a eliminação usando a primeira linha como pivô. Subtrair múltiplos da primeira linha das demais para zerar a primeira coluna nas linhas 2, 3 e 4.
Operações:
\begin{aligned} \text{Linha}_2 &\leftarrow \text{Linha}_2 + 2\cdot\text{Linha}_1,\\\ \text{Linha}_3 &\leftarrow \text{Linha}_3 + 1\cdot\text{Linha}_1,\\\ \text{Linha}_4 &\leftarrow \text{Linha}_4 + 2\cdot\text{Linha}_1. \end{aligned}
Aplicando, obtém-se a matriz:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -4 & 2 & 2 \\\\ 0 & 4 & 1 & -3 \\\\ 0 & 4 & 4 & k+2 \end{array}\right]

Passo 4

Agora usar a segunda linha como pivô (entrada -4 na posição (2,2)) e eliminar as entradas (3,2) e (4,2).
Operações:
\begin{aligned} \text{Linha}_3 &\leftarrow \text{Linha}_3 + \text{Linha}_2,\\\ \text{Linha}_4 &\leftarrow \text{Linha}_4 + \text{Linha}_2. \end{aligned}
Calculando:
  • Para a linha 3: (0,\,4,\,1\mid-3) + (0,\,-4,\,2\mid2) = (0,\,0,\,3\mid -1).
  • Para a linha 4: (0,\,4,\,4\mid k+2) + (0,\,-4,\,2\mid2) = (0,\,0,\,6\mid k+4).
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -4 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 6 & k+4 \end{array}\right]

Passo 5

Usar a terceira linha como pivô ( 3 na posição (3,3)) e eliminar a entrada (4,3).
Operação:
\text{Linha}_4 \leftarrow \text{Linha}_4 - 2\cdot\text{Linha}_3.
Calculando:
  • Terceira linha é (0,0,3\mid -1).
  • (0,0,6\mid k+4) - 2\cdot(0,0,3\mid -1) = (0,0,0\mid k+4 - 2(-1)) = (0,0,0\mid k+6).
A matriz final após eliminação é:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -4 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & k+6 \end{array}\right]

Passo 6

Interpretação e condição de consistência:
  • A última linha representa a equação 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = k+6, isto é, 0 = k+6.
  • Para que essa equação não seja impossível deve valer k+6=0.
  • Logo a condição para o sistema ser consistente é \,k+6=0, isto é \,k=-6.

Passo 7

Conclusão final (opção entre as dadas):
  • O único valor de k que torna o sistema compatível (tem solução) é -6.
  • Na lista de alternativas isso corresponde à alternativa (E).

Resposta

-6

Exercícios relacionados