Considere um sistema em malha aberta dado por:
. Determine:
a) A função de transferência em malha fechada.
b) Os polos do sistema.
c) A frequência natural
.
d) O coeficiente de amortecimento
e) Se o sistema é estável.
a) A função de transferência em malha fechada.
b) Os polos do sistema.
c) A frequência natural
d) O coeficiente de amortecimento
e) Se o sistema é estável.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de malha aberta
e pede cinco coisas:
a) a função de transferência em malha fechada;
b) os polos do sistema;
c) a frequência natural ;
d) o coeficiente de amortecimento ;
e) se o sistema é estável.
a) a função de transferência em malha fechada;
b) os polos do sistema;
c) a frequência natural
d) o coeficiente de amortecimento
e) se o sistema é estável.
Observação importante: como o enunciado não especifica outro tipo de realimentação, vou assumir a configuração padrão de realimentação unitária negativa (feedback unitário negativo), que é o caso mais comum em exercícios assim.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a fórmula padrão da função de transferência em malha fechada para realimentação unitária negativa. Essa fórmula diz que a função de transferência de malha fechada
é
Essa é uma fórmula fundamental em controles: o numerador é a função de malha aberta e o denominador é
essa mesma função (o sinal + vem da forma
para realimentação negativa).
Passo 3
Agora substituímos
na fórmula e fazemos a álgebra com calma.
Colocando tudo sobre um denominador comum
no denominador da fração:
Logo,
Portanto a função de transferência em malha fechada simplificada é
Passo 4
Os polos do sistema são as raízes do polinômio característico do denominador de
, isto é resolver
Usamos a fórmula quadrática. O discriminante é
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas conjugadas. Aplicando a fórmula
Portanto os polos são
e
.
Passo 5
Agora vamos identificar a frequência natural
e o coeficiente de amortecimento
. Para isso comparamos o denominador com a forma padrão de um sistema de segunda ordem:
Igualando coeficientes com
, obtemos
Da segunda igualdade:
Da primeira, isolando
:
Passo 6
Avaliação da estabilidade e do comportamento transitório:
- Estabilidade: os polos são
. Como a parte real de ambos é , o sistema é assintoticamente estável (todas as soluções naturais decaem com o tempo). - Tipo de amortecimento:
está entre e , portanto o sistema é subamortecido (resposta com oscilações amortecidas).
Para quem gosta de número extra: a frequência de oscilação amortecida seria, se precisar calcular (não foi pedido, mas fica como referência).
Resposta
(a)
(b) polos:
(c)
(d)
(e) Sim — o sistema é assintoticamente estável (subamortecido).
(b) polos:
(c)
(d)
(e) Sim — o sistema é assintoticamente estável (subamortecido).