Considere um sistema em malha aberta dado por: G(s) H(s)=\frac{20}{s(s+4)}. Determine:
a) A função de transferência em malha fechada.
b) Os polos do sistema.
c) A frequência natural { }^{\omega_{n}}.
d) O coeficiente de amortecimento \zeta
e) Se o sistema é estável.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de malha aberta
G(s)H(s)=\frac{20}{s(s+4)}
e pede cinco coisas:
a) a função de transferência em malha fechada;
b) os polos do sistema;
c) a frequência natural \omega_n;
d) o coeficiente de amortecimento \zeta;
e) se o sistema é estável.
Observação importante: como o enunciado não especifica outro tipo de realimentação, vou assumir a configuração padrão de realimentação unitária negativa (feedback unitário negativo), que é o caso mais comum em exercícios assim.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a fórmula padrão da função de transferência em malha fechada para realimentação unitária negativa. Essa fórmula diz que a função de transferência de malha fechada T(s) é
T(s)=\frac{G(s)H(s)}{1+G(s)H(s)}.
Essa é uma fórmula fundamental em controles: o numerador é a função de malha aberta e o denominador é 1+ essa mesma função (o sinal + vem da forma 1+GH para realimentação negativa).

Passo 3

Agora substituímos G(s)H(s)=\dfrac{20}{s(s+4)} na fórmula e fazemos a álgebra com calma.
T(s)=\frac{\dfrac{20}{s(s+4)}}{1+\dfrac{20}{s(s+4)}}.
Colocando tudo sobre um denominador comum s(s+4) no denominador da fração:
1+\dfrac{20}{s(s+4)}=\dfrac{s(s+4)+20}{s(s+4)}=\dfrac{s^{2}+4s+20}{s^{2}+4s}.
Logo,
T(s)=\frac{\dfrac{20}{s^{2}+4s}}{\dfrac{s^{2}+4s+20}{s^{2}+4s}}=\frac{20}{s^{2}+4s+20}.
Portanto a função de transferência em malha fechada simplificada é
T(s)=\frac{20}{s^{2}+4s+20}.

Passo 4

Os polos do sistema são as raízes do polinômio característico do denominador de T(s), isto é resolver
s^{2}+4s+20=0.
Usamos a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot20=16-80=-64.
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas conjugadas. Aplicando a fórmula
s=\frac{-4\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-64}}{2}=\frac{-4\pm 8j}{2}=-2\pm 4j.
Portanto os polos são s=-2+4j e s=-2-4j.

Passo 5

Agora vamos identificar a frequência natural \omega_n e o coeficiente de amortecimento \zeta. Para isso comparamos o denominador com a forma padrão de um sistema de segunda ordem:
s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Igualando coeficientes com s^{2}+4s+20, obtemos
2\zeta\omega_{n}=4,\qquad \omega_{n}^{2}=20.
Da segunda igualdade:
\omega_{n}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,4721.
Da primeira, isolando \zeta:
\zeta=\frac{4}{2\omega_{n}}=\frac{2}{\omega_{n}}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0,4472.

Passo 6

Avaliação da estabilidade e do comportamento transitório:
  • Estabilidade: os polos são s=-2\pm4j. Como a parte real de ambos é -2<0, o sistema é assintoticamente estável (todas as soluções naturais decaem com o tempo).
  • Tipo de amortecimento: \zeta\approx0,4472 está entre 0 e 1, portanto o sistema é subamortecido (resposta com oscilações amortecidas).
    Para quem gosta de número extra: a frequência de oscilação amortecida seria \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}, se precisar calcular (não foi pedido, mas fica como referência).

Resposta

(a) T(s)=\dfrac{20}{s^{2}+4s+20}
(b) polos: s=-2\pm 4j
(c) \omega_{n}=2\sqrt{5}\approx 4,4721
(d) \zeta=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\approx 0,4472
(e) Sim — o sistema é assintoticamente estável (subamortecido).

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