Dada a função de transferência \mathrm{G}(s)=\frac{b}{s^{2}+a s+b}, Calcule \omega_{n}, ζ, %OS, Ts, Tp e Tr para o par de polos (\mathrm{s}+2 \pm 5 j).

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência \mathrm{G}(s)=\dfrac{b}{s^{2}+a s+b} (forma padrão de segunda ordem) e pede para calcular os parâmetros dinâmicos associados ao par de polos (\mathrm{s}+2 \pm 5 j).
Informações dadas:
  • Os polos são s = -2 \pm 5j.
O que é pedido:
  • \omega_{n} (frequência natural não amortecida),
  • \zeta (razão de amortecimento, damping ratio),
  • %OS (percent overshoot para resposta a degrau unitário),
  • T_s (tempo de acomodação, settling time, critério de 2\%),
  • T_p (tempo até o pico, peak time),
  • T_r (rise time, tempo de subida até o primeiro cruzamento do valor final).

Passo 2

Como relacionar polos com os parâmetros de um sistema de segunda ordem:
Para um sistema de segunda ordem padrão com polos complexos conjugados, escreve-se os polos como
s = -\zeta \omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
É útil definir
\sigma \equiv \zeta \omega_n \qquad\text{e}\qquad \omega_d \equiv \omega_n\sqrt{1-\zeta^2},
de modo que os polos também aparecem como
s = -\sigma \pm j\,\omega_d.
Portanto, dado um par de polos -\sigma \pm j\omega_d, pode-se obter \omega_n e \zeta por
\omega_n = \sqrt{\sigma^{2}+\omega_{d}^{2}},\qquad \zeta = \frac{\sigma}{\omega_n}.

Passo 3

Identificar \sigma e \omega_d a partir dos polos fornecidos.
Dos polos s = -2 \pm 5j temos diretamente:
\sigma = 2,\qquad \omega_d = 5.

Passo 4

Calcular \omega_n usando \omega_n = \sqrt{\sigma^{2}+\omega_{d}^{2}}.
Substituindo:
\omega_n = \sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
Valor numérico:
\omega_n=\sqrt{29}\approx 5,38516\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Calcular \zeta usando \zeta=\dfrac{\sigma}{\omega_n}.
Substituindo:
\zeta=\frac{2}{\sqrt{29}}\approx 0,37139.

Passo 6

Calcular o percent overshoot (%OS).
Fórmula padrão para overshoot de um sistema de segunda ordem subamortecido (resposta ao degrau unitário) é
\%\mathrm{OS}=100\cdot e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.
Aqui podemos simplificar a expressão usando os valores exatos: observe que
\sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{29}}=\sqrt{\frac{25}{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}.
Assim o expoente fica
\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{\dfrac{2}{\sqrt{29}}\pi}{\dfrac{5}{\sqrt{29}}}=\frac{2\pi}{5}.
Portanto
\%\mathrm{OS}=100\cdot e^{-2\pi/5}.
Valor numérico:
\%\mathrm{OS}\approx 100\cdot e^{-1,25663706}\approx 28,4025\%.

Passo 7

Calcular o tempo de acomodação T_s (critério de 2\%).
Definição prática usada (comum em controle): para um sistema de segunda ordem subamortecido,
T_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}.
Note que \zeta \omega_n = \sigma. Como \sigma=2,
T_s \approx \frac{4}{\sigma}=\frac{4}{2}=2\\ \text{s}.
Explicação curta: o fator 4/(\zeta\omega_n) é um valor aproximado que garante que o decaimento exponencial e^{-\zeta\omega_n t} seja pequeno o suficiente (nível de 2\%).

Passo 8

Calcular o tempo até o pico T_p.
Para um sistema subamortecido, o primeiro pico ocorre quando \omega_d t = \pi, logo
T_p = \frac{\pi}{\omega_d}.
Substituindo \omega_d=5:
T_p=\frac{\pi}{5}\approx 0,62832\\ \text{s}.

Passo 9

Calcular o tempo de subida T_r (tempo até o primeiro cruzamento do valor final).
A expressão exata para o primeiro instante em que a resposta ao degrau atinge o valor final (primeiro cruzamento) é
T_r = \frac{\pi - \varphi}{\omega_d},
onde
\varphi = \arctan\!\left(\frac{\sqrt{1-\zeta^{2}}}{\zeta}\right).
Já temos \sqrt{1-\zeta^{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{29}} e \zeta=\dfrac{2}{\sqrt{29}}, então
\frac{\sqrt{1-\zeta^{2}}}{\zeta}=\frac{5/\sqrt{29}}{2/\sqrt{29}}=\frac{5}{2}=2{,}5,
portanto
\varphi=\arctan(2{,}5)\approx 1,19029\\ \text{rad}.
Logo
T_r=\frac{\pi-\varphi}{\omega_d}=\frac{3{,}14159265-1{,}19028995}{5}\approx 0,39026\\ \text{s}.

Passo 10

Resumo numérico (valores calculados com arredondamento razoável):
  • \omega_n \approx 5,38516\\ \text{rad/s}
  • \zeta \approx 0,37139
  • \%\mathrm{OS} \approx 28,4025\%
  • T_s \approx 2\\ \text{s} (critério 2\%)
  • T_p \approx 0,62832\\ \text{s}
  • T_r \approx 0,39026\\ \text{s}

Resposta

\omega_n=\sqrt{29}\approx 5,38516\\ \text{rad/s}
\zeta=\dfrac{2}{\sqrt{29}}\approx 0,37139
\%\mathrm{OS}=100e^{-2\pi/5}\approx 28,4025\%
T_s\approx 2\\ \text{s}
T_p=\dfrac{\pi}{5}\approx 0,62832\\ \text{s}
T_r=\dfrac{\pi-\arctan(2{,}5)}{5}\approx 0,39026\\ \text{s}

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