Dada a função de transferência
, Calcule
, ζ, %OS, Ts, Tp e Tr para o par de polos
.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
(forma padrão de segunda ordem) e pede para calcular os parâmetros dinâmicos associados ao par de polos
.
Informações dadas:
- Os polos são
.
O que é pedido:
-
(frequência natural não amortecida), -
(razão de amortecimento, damping ratio), - %OS (percent overshoot para resposta a degrau unitário),
-
(tempo de acomodação, settling time, critério de ), -
(tempo até o pico, peak time), -
(rise time, tempo de subida até o primeiro cruzamento do valor final).
Passo 2
Como relacionar polos com os parâmetros de um sistema de segunda ordem:
Para um sistema de segunda ordem padrão com polos complexos conjugados, escreve-se os polos como
É útil definir
de modo que os polos também aparecem como
Portanto, dado um par de polos
, pode-se obter
e
por
Passo 3
Identificar
e
a partir dos polos fornecidos.
Dos polos
temos diretamente:
Passo 4
Calcular
usando
.
Substituindo:
Valor numérico:
Passo 5
Calcular
usando
.
Substituindo:
Passo 6
Calcular o percent overshoot (%OS).
Fórmula padrão para overshoot de um sistema de segunda ordem subamortecido (resposta ao degrau unitário) é
Aqui podemos simplificar a expressão usando os valores exatos: observe que
Assim o expoente fica
Portanto
Valor numérico:
Passo 7
Calcular o tempo de acomodação
(critério de
).
Definição prática usada (comum em controle): para um sistema de segunda ordem subamortecido,
Note que
. Como
,
Explicação curta: o fator
é um valor aproximado que garante que o decaimento exponencial
seja pequeno o suficiente (nível de
).
Passo 8
Calcular o tempo até o pico
.
Para um sistema subamortecido, o primeiro pico ocorre quando
, logo
Substituindo
:
Passo 9
Calcular o tempo de subida
(tempo até o primeiro cruzamento do valor final).
A expressão exata para o primeiro instante em que a resposta ao degrau atinge o valor final (primeiro cruzamento) é
onde
Já temos
e
, então
portanto
Logo
Passo 10
Resumo numérico (valores calculados com arredondamento razoável):
-
-
-
-
(critério ) -
-