Considere um sistema que multiplica uma dada entrada por uma função rampa
, ou seja,
, em que
e
são, respectivamente a entrada e a saída do sistema. Responda:
Este sistema é linear? Justifique sua resposta;
Este sistema é linear? Justifique sua resposta;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece o sistema descrito por
. - A função rampa é
, em que é a função degrau unitário. - A pergunta é: “Este sistema é linear?” — pede-se uma justificativa clara.
Passo 2
Lembrando a definição prática de linearidade (sem jargões): um sistema
é linear se, para quaisquer sinais
e
e quaisquer escalares
e
, vale a propriedade de superposição (ou seja, soma + escala):
Esta condição engloba duas propriedades: aditividade (
) e homogeneidade (
). Se essa igualdade valer para todos os
, o sistema é linear.
Passo 3
Agora aplico essa definição ao nosso operador
dado por multiplicação ponto a ponto por
:
Calculo
aplicado a uma combinação linear
:
Passo 4
Distribuo
na soma (propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma):
Reescrevendo em termos do operador
:
Passo 5
Como a igualdade
vale para quaisquer sinais
e quaisquer escalares
, concluímos que o sistema satisfaz a propriedade de superposição e, portanto, é linear.
Um comentário didático rápido e útil para a prova: o fato de
depender de
(ou de ter o fator
) não inviabiliza a linearidade — o que interessa é que
seja uma função fixa, conhecida, independe dos sinais de entrada. Sistemas do tipo
são lineares (são ganhos que variam no tempo), embora em geral não sejam invariantes no tempo.
Resposta
Sim. O sistema é linear.