Considere um sistema que multiplica uma dada entrada por uma função rampa r(t)=t \times u(t), ou seja, y(t)=r(t) \times x(t), em que x(t) e y(t) são, respectivamente a entrada e a saída do sistema. Responda:
Este sistema é linear? Justifique sua resposta;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece o sistema descrito por y(t)=r(t)\,x(t).
  • A função rampa é r(t)=t\times u(t), em que u(t) é a função degrau unitário.
  • A pergunta é: “Este sistema é linear?” — pede-se uma justificativa clara.

Passo 2

Lembrando a definição prática de linearidade (sem jargões): um sistema T é linear se, para quaisquer sinais x_1(t) e x_2(t) e quaisquer escalares a e b, vale a propriedade de superposição (ou seja, soma + escala):
T\big[a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\big]=a\,T\big[x_1(t)\big]+b\,T\big[x_2(t)\big].
Esta condição engloba duas propriedades: aditividade ( T[x_1+x_2]=T[x_1]+T[x_2]) e homogeneidade ( T[a x]=a T[x]). Se essa igualdade valer para todos os x_1,x_2,a,b, o sistema é linear.

Passo 3

Agora aplico essa definição ao nosso operador T dado por multiplicação ponto a ponto por r(t):
T[x(t)] = r(t)\,x(t).
Calculo T aplicado a uma combinação linear a\,x_1(t)+b\,x_2(t):
T\big[a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\big] = r(t)\,\big(a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\big).

Passo 4

Distribuo r(t) na soma (propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma):
r(t)\,\big(a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\big) = a\,\big(r(t)\,x_1(t)\big) + b\,\big(r(t)\,x_2(t)\big).
Reescrevendo em termos do operador T:
a\,\big(r(t)\,x_1(t)\big) + b\,\big(r(t)\,x_2(t)\big) = a\,T\big[x_1(t)\big] + b\,T\big[x_2(t)\big].

Passo 5

Como a igualdade
T\big[a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\big]=a\,T\big[x_1(t)\big]+b\,T\big[x_2(t)\big]
vale para quaisquer sinais x_1,x_2 e quaisquer escalares a,b, concluímos que o sistema satisfaz a propriedade de superposição e, portanto, é linear.
Um comentário didático rápido e útil para a prova: o fato de r(t) depender de t (ou de ter o fator u(t)) não inviabiliza a linearidade — o que interessa é que r(t) seja uma função fixa, conhecida, independe dos sinais de entrada. Sistemas do tipo y(t)=k(t)\,x(t) são lineares (são ganhos que variam no tempo), embora em geral não sejam invariantes no tempo.

Resposta

Sim. O sistema é linear.

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