Um sistema em tempo contínuo é modelado pela equação apresentada a seguir (em que \delta(t) é o impulso unitário). (a) Simplifique a equação; (b) Explique o que este sistema faz; (c) O sistema é estável BIBO? Justifique sua resposta; (d) O sistema é linear? Justifique sua resposta; (e) O sistema é sem memória? Justifique sua resposta; (f) O sistema é causal? Justifique sua resposta; (g) O sistema é invariante no tempo? Justifique sua resposta.
y(t)=0,5 \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)[\delta(t-\tau)-\delta(t+\tau)] d \tau

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte relação entre entrada x(t) e saída y(t):
y(t)=0,5 \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\big[\delta(t-\tau)-\delta(t+\tau)\big] d\tau.
As perguntas que preciso responder são, separadamente:
(a) simplificar a equação;\n
(b) explicar o que o sistema faz;\n
(c) o sistema é estável BIBO? justificar;\n
(d) o sistema é linear? justificar;\n
(e) o sistema é sem memória? justificar;\n
(f) o sistema é causal? justificar;\n
(g) o sistema é invariante no tempo? justificar.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integral envolve o impulso unitário \delta(\cdot).
  • O integrando é x(\tau) multiplicado por \delta(t-\tau)-\delta(t+\tau).
  • Não há outras restrições explícitas sobre x(t).

Passo 2

Vou lembrar e explicar a propriedade fundamental do impulso unitário (sifting property), que vou usar para simplificar a integral.
Propriedade do impulso (explicação passo a passo):
  • Para uma função razoável f(\tau) e uma constante a, vale
\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,\delta(\tau-a)\,d\tau = f(a).
  • Isso acontece porque \delta(\tau-a) é “infinito” em \tau=a e zero fora, de modo que a integral pega o valor de f em \tau=a (essa é uma descrição intuitiva; formalmente usa-se teoria de distribuições).
  • Aplicando a mesma ideia com \delta(t-\tau): trocar a ordem dos argumentos não é problema, pois \delta(t-\tau)=\delta(\tau-t) em relação à variável de integração \tau; então
\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau = x(t).
  • Para a outra delta, note que \delta(t+\tau)=\delta(\tau+ t)=\delta(\tau-(-t)). Assim
\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,\delta(t+\tau)\,d\tau = x(-t).
  • Essas duas igualdades valem sempre que x for uma função para a qual a propriedade do impulso se aplica (funções usuais de sinais de engenharia).

Passo 3

Agora aplico a propriedade do impulso à integral do enunciado, termo a termo:
y(t)=0,5\left(\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau \;-\; \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,\delta(t+\tau)\,d\tau\right).
Pelo argumento do Passo 2, isso se torna
y(t)=0,5\big(x(t)-x(-t)\big).
Portanto a forma simplificada e explícita do sistema é
y(t)=\tfrac{1}{2}\big(x(t)-x(-t)\big).

Passo 4

Explicação didática do que o sistema faz (intuição e exemplos):
  • Existe uma decomposição padrão de qualquer sinal x(t) em parte par e parte ímpar:
x_{\text{par}}(t)=\tfrac{1}{2}\big(x(t)+x(-t)\big),\qquad x_{\text{ímpar}}(t)=\tfrac{1}{2}\big(x(t)-x(-t)\big).í
  • Comparando, vemos que
y(t)=x_{\text{ímpar}}(t).í
  • Ou seja: o sistema extrai a parte ímpar (odd part) do sinal de entrada. Em palavras mais simples: ele “retira” a componente par e mantém a componente ímpar.
  • Exemplos concretos:
    • Se x(t)=\cos t (função par), então x(-t)=\cos t e y(t)=\tfrac{1}{2}(\cos t-\cos t)=0.
    • Se x(t)=\sin t (função ímpar), então x(-t)=-\sin t e y(t)=\tfrac{1}{2}(\sin t-(-\sin t))=\sin t (o sistema retorna x inteiro).
    • Se x(t)=t, então x(-t)=-t e y(t)=\tfrac{1}{2}(t-(-t))=t (a parte ímpar é t mesmo).

Passo 5

Estabilidade BIBO (definição e prova passo a passo):
  • Definição: o sistema é BIBO estável se toda entrada limitada (existe M<\infty tal que |x(t)|\le M para todo t) produz uma saída limitada (existe N<\infty tal que |y(t)|\le N para todo t).
  • Suponha que |x(t)|\le M para todo t. Então, usando a forma simplificada,
|y(t)| = \tfrac{1}{2}\,|x(t)-x(-t)| \le \tfrac{1}{2}\big(|x(t)|+|x(-t)|\big) \le \tfrac{1}{2}(M+M)=M.
  • Logo existe N=M que limita |y(t)|. Portanto o sistema é BIBO estável.

Passo 6

Linearidade (definição e verificação):
  • Definição: o sistema é linear se para quaisquer sinais x_1,x_2 e escalares a,b vale
T\{a x_1 + b x_2\} = a\,T\{x_1\} + b\,T\{x_2\}.
  • Usando a expressão T\{x\}(t)=\tfrac{1}{2}(x(t)-x(-t)), calculo
T\{a x_1 + b x_2\}(t) = \tfrac{1}{2}\big(a x_1(t)+b x_2(t) - (a x_1(-t)+b x_2(-t))\big) = a\,T\{x_1\}(t) + b\,T\{x_2\}(t).
  • Assim o sistema satisfaz superposição e é linear.

Passo 7

Memória (definição e aplicação ao caso):
  • Definição: um sistema é sem memória (memoryless) se, para todo t, y(t) depende somente de x(t) (não de valores x(\tau) com \tau\ne t).
  • Aqui y(t)=\tfrac{1}{2}(x(t)-x(-t)) depende de x(-t) além de x(t). Em geral x(-t)\neq x(t), portanto y(t) depende de valores da entrada em instantes diferentes de t.
  • Conclusão: o sistema tem memória (não é sem memória).

Passo 8

Causalidade (definição e contraexemplo):
  • Definição: um sistema é causal se, para todo t_0, y(t_0) depende somente de x(\tau) com \tau\le t_0 (ou seja, não depende do futuro da entrada).
  • Observação: y(t) depende de x(-t). Para tempos t<0 temos -t>t, isto é, y(t) depende de x em um instante maior que t (um “futuro” relativo a t).
  • Contraexemplo numérico simples: defina x(\tau)=u(\tau) (função degrau unitário). Então para t=-1: y(-1)=\tfrac{1}{2}\big(x(-1)-x(1)\big)=\tfrac{1}{2}\big(0-1\big)=-\tfrac{1}{2},e esse valor depende de x(1), que é um valor da entrada no futuro relativo a t=-1. Portanto o sistema não é causal.

Passo 9

Invariância no tempo (definição e teste com exemplo):
  • Definição: sistema invariante no tempo (time-invariant) significa que, se a entrada x(t) produz saída y(t), então a entrada atrasada x(t-t_0) produz a saída atrasada y(t-t_0), para todo t_0.
  • Teste geral (cálculo): seja x_1(t)=x(t-t_0). Então a saída associada é
T\{x_1\}(t)=\tfrac{1}{2}\big(x(t-t_0)-x(-t-t_0)\big).
Por outro lado, atrasar a saída original dá
y(t-t_0)=\tfrac{1}{2}\big(x(t-t_0)-x(-t+t_0)\big).
Essas expressões diferem em geral (os segundos argumentos -t-t_0 e -t+t_0 são diferentes para t_0\ne 0), logo o sistema não satisfaz invariância no tempo.
  • Exemplo numérico simples: escolha x(t)=t. Então T\{x\}(t)=t. Para t_0\ne 0 obtém-se T\{x(t-t_0)\}(t)=t enquanto T\{x\}(t-t_0)=t-t_0. Como t\neq t-t_0 em geral, isso mostra explicitamente que o sistema não é invariante no tempo.

Resposta

(a) \displaystyle y(t)=\tfrac{1}{2}\big(x(t)-x(-t)\big)\n
(b) O sistema extrai a parte ímpar de x(t): y(t)=x_{\text{ímpar}}(t)í. (Ex.: para x(t)=\cos t tem y=0; para x(t)=\sin t tem y=\sin t).\n
(c) Sim, é BIBO estável: se |x(t)|\le M então |y(t)|\le M para todo t.\n
(d) Sim, é linear (satisfaz superposição e homogeneidade).\n
(e) Não, tem memória (depende de x(-t) além de x(t)).\n
(f) Não, não é causal (para t<0 a saída depende de x(-t) que é um valor futuro relativo a t; ex.: com x=u obtemos y(-1)=-\tfrac{1}{2} dependente de x(1)).\n
(g) Não, não é invariante no tempo (teste de deslocamento mostra T\{x(t-t_0)\}(t)\neq T\{x\}(t-t_0) em geral; exemplo com x(t)=t).

Exercícios relacionados