Um sistema em tempo contínuo é modelado pela equação apresentada a seguir (em que
é o impulso unitário). (a) Simplifique a equação; (b) Explique o que este sistema faz; (c) O sistema é estável BIBO? Justifique sua resposta; (d) O sistema é linear? Justifique sua resposta; (e) O sistema é sem memória? Justifique sua resposta; (f) O sistema é causal? Justifique sua resposta; (g) O sistema é invariante no tempo? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte relação entre entrada
e saída
:
As perguntas que preciso responder são, separadamente:
(a) simplificar a equação;\n
(b) explicar o que o sistema faz;\n
(c) o sistema é estável BIBO? justificar;\n
(d) o sistema é linear? justificar;\n
(e) o sistema é sem memória? justificar;\n
(f) o sistema é causal? justificar;\n
(g) o sistema é invariante no tempo? justificar.
(a) simplificar a equação;\n
(b) explicar o que o sistema faz;\n
(c) o sistema é estável BIBO? justificar;\n
(d) o sistema é linear? justificar;\n
(e) o sistema é sem memória? justificar;\n
(f) o sistema é causal? justificar;\n
(g) o sistema é invariante no tempo? justificar.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A integral envolve o impulso unitário
. - O integrando é
multiplicado por . - Não há outras restrições explícitas sobre
.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a propriedade fundamental do impulso unitário (sifting property), que vou usar para simplificar a integral.
Propriedade do impulso (explicação passo a passo):
- Para uma função razoável
e uma constante , vale
- Isso acontece porque
é “infinito” em e zero fora, de modo que a integral pega o valor de em (essa é uma descrição intuitiva; formalmente usa-se teoria de distribuições). - Aplicando a mesma ideia com
: trocar a ordem dos argumentos não é problema, pois em relação à variável de integração ; então
- Para a outra delta, note que
. Assim
- Essas duas igualdades valem sempre que
for uma função para a qual a propriedade do impulso se aplica (funções usuais de sinais de engenharia).
Passo 3
Agora aplico a propriedade do impulso à integral do enunciado, termo a termo:
Pelo argumento do Passo 2, isso se torna
Portanto a forma simplificada e explícita do sistema é
Passo 4
Explicação didática do que o sistema faz (intuição e exemplos):
- Existe uma decomposição padrão de qualquer sinal
em parte par e parte ímpar:
- Comparando, vemos que
- Ou seja: o sistema extrai a parte ímpar (odd part) do sinal de entrada. Em palavras mais simples: ele “retira” a componente par e mantém a componente ímpar.
- Exemplos concretos:
- Se
(função par), então e . - Se
(função ímpar), então e (o sistema retorna inteiro). - Se
, então e (a parte ímpar é mesmo).
- Se
Passo 5
Estabilidade BIBO (definição e prova passo a passo):
- Definição: o sistema é BIBO estável se toda entrada limitada (existe
tal que para todo ) produz uma saída limitada (existe tal que para todo ). - Suponha que
para todo . Então, usando a forma simplificada,
- Logo existe
que limita . Portanto o sistema é BIBO estável.
Passo 6
Linearidade (definição e verificação):
- Definição: o sistema é linear se para quaisquer sinais
e escalares vale
- Usando a expressão
, calculo
- Assim o sistema satisfaz superposição e é linear.
Passo 7
Memória (definição e aplicação ao caso):
- Definição: um sistema é sem memória (memoryless) se, para todo
, depende somente de (não de valores com ). - Aqui
depende de além de . Em geral , portanto depende de valores da entrada em instantes diferentes de . - Conclusão: o sistema tem memória (não é sem memória).
Passo 8
Causalidade (definição e contraexemplo):
- Definição: um sistema é causal se, para todo
, depende somente de com (ou seja, não depende do futuro da entrada). - Observação:
depende de . Para tempos temos , isto é, depende de em um instante maior que (um “futuro” relativo a ). - Contraexemplo numérico simples: defina
(função degrau unitário). Então para : e esse valor depende de , que é um valor da entrada no futuro relativo a . Portanto o sistema não é causal.
Passo 9
Invariância no tempo (definição e teste com exemplo):
- Definição: sistema invariante no tempo (time-invariant) significa que, se a entrada
produz saída , então a entrada atrasada produz a saída atrasada , para todo . - Teste geral (cálculo): seja
. Então a saída associada é
Por outro lado, atrasar a saída original dá
Essas expressões diferem em geral (os segundos argumentos
e
são diferentes para
), logo o sistema não satisfaz invariância no tempo.
- Exemplo numérico simples: escolha
. Então . Para obtém-se enquanto . Como em geral, isso mostra explicitamente que o sistema não é invariante no tempo.
Resposta
(a)
\n
(b) O sistema extrai a parte ímpar de :
. (Ex.: para
tem
; para
tem
).\n
(c) Sim, é BIBO estável: se então
para todo
.\n
(d) Sim, é linear (satisfaz superposição e homogeneidade).\n
(e) Não, tem memória (depende de além de
).\n
(f) Não, não é causal (para a saída depende de
que é um valor futuro relativo a
; ex.: com
obtemos
dependente de
).\n
(g) Não, não é invariante no tempo (teste de deslocamento mostra em geral; exemplo com
).
(b) O sistema extrai a parte ímpar de
(c) Sim, é BIBO estável: se
(d) Sim, é linear (satisfaz superposição e homogeneidade).\n
(e) Não, tem memória (depende de
(f) Não, não é causal (para
(g) Não, não é invariante no tempo (teste de deslocamento mostra