Considere o solido E acima do cone z=raiz3 x^2+3 y^2 e interior à esfera x^2+y^2+z^2=4.
(3,0) Usando integrais triplas, calcule o volume de E.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido E que fica acima do cone z=raiz3(x^2+y^2) e dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4. Como queremos volume por integração, vamos usar integrais triplas. Para simplificar, adotamos coordenadas esféricas: x=ρsinvarphicosθ, y=ρsinvarphisinθ, z=ρcosvarphi, com elemento de volume dV=ρ^2sinvarphi,dρ,dvarphi,dθ. A esfera vira ρ=2 e o cone satisfaz
ρcosvarphi=raiz3,ρsinvarphiimpliestanvarphi=1/raiz3impliesvarphi=pi/6

Passo 2

Como estamos acima do cone, temos os limites
0<=θ<=2π, 0<=varphi<=pi/6, 0<=ρ<=2

Passo 3

Montamos então a integral do volume:
V=integral0^2piintegral0^pi/6integral0^2ρ^2sinvarphi,dρ,dvarphi,dθ

Passo 4

Integramos primeiro em ρ:
integral0^2ρ^2,dρ=ρ^33|0^2=83, portanto
V=83integral0^2piintegral0^pi/6sinvarphi,dvarphi,dθ

Passo 5

Agora integramos em varphi e θ:
$$\int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi,d\varphi=1-\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}\Bigr)=1-\frac{\sqrt3}{2},\quad
\int_{0}^{2\pi}dθ=2\pi.$$

Passo 6

Assim
$$V=\frac{8}{3}\times2\pi\times\Bigl(1-\frac{\sqrt3}{2}\Bigr)=\frac{16\pi}{3}\Bigl(1-\frac{\sqrt3}{2}\Bigr)=\frac{8\pi(2-\sqrt3)}{3}.
$$

Resposta

8pi(2-raiz3)3

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