Considere o sólido G , limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e abaixo pelo plano z=1.
Escreva uma integral tripla que fornece o seu volume, usando coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sólido G que está limitado de cima por uma esfera x^2+y^2+z^2=4 e de baixo por um plano z=1. A matéria aqui é cálculo usando integrais triplas para encontrar volumes, e a gente vai usar coordenadas esféricas pra montar essa integral que representa o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Diferente das coordenadas cartesianas (x, y, z), nas esféricas usamos três parâmetros: o raio rho, o ângulo polar phi (que é o ângulo do ponto em relação ao eixo z) e o ângulo azimutal theta (que é o ângulo no plano xy). As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
x = rho sin phi cos theta
y = rho sin phi sin theta
z = rho cos phi

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para cada coordenada. A esfera x^2+y^2+z^2=4 em coordenadas esféricas se torna simplesmente rho = 2, porque rho é o raio. Já o plano z=1 fica rho cos phi = 1, ou seja, rho = 1cos phi, que também pode ser escrita como rho = sec phi.

Passo 4

Precisamos encontrar os limites para o ângulo phi. Esse ângulo vai desde o topo da esfera ( phi = 0) até o ponto onde a esfera e o plano se encontram. Para achar esse ponto, resolvemos:
rho = 2 e rho cos phi = 1
2 cos phi = 1 Rightarrow cos phi = 12 Rightarrow phi = pi3
Então, phi varia de 0 a pi3.

Passo 5

O ângulo theta gira em volta de toda a circunferência, então ele vai de 0 a 2pi.

Passo 6

Com todos os limites definidos, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta. Então, a integral para o volume V fica:
V = integral0^2pi integral0^pi3 integralsec phi^2 rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

Resposta

A integral tripla que fornece o volume do sólido G em coordenadas esféricas é:
V = integral0^2pi integral0^pi3 integralsec phi^2 rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

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