Considere o sólido G , limitado acima pela esfera
e abaixo pelo plano
.
Escreva uma integral tripla que fornece o seu volume, usando coordenadas esféricas.
Escreva uma integral tripla que fornece o seu volume, usando coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sólido G que está limitado de cima por uma esfera
e de baixo por um plano
. A matéria aqui é cálculo usando integrais triplas para encontrar volumes, e a gente vai usar coordenadas esféricas pra montar essa integral que representa o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Diferente das coordenadas cartesianas (x, y, z), nas esféricas usamos três parâmetros: o raio
, o ângulo polar
(que é o ângulo do ponto em relação ao eixo z) e o ângulo azimutal
(que é o ângulo no plano xy). As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para cada coordenada. A esfera
em coordenadas esféricas se torna simplesmente
, porque
é o raio. Já o plano
fica
, ou seja,
, que também pode ser escrita como
.
Passo 4
Precisamos encontrar os limites para o ângulo
. Esse ângulo vai desde o topo da esfera (
) até o ponto onde a esfera e o plano se encontram. Para achar esse ponto, resolvemos:
Então,
varia de
a
.
Passo 5
O ângulo
gira em volta de toda a circunferência, então ele vai de
a
.
Passo 6
Com todos os limites definidos, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
. Então, a integral para o volume
fica:
Resposta
A integral tripla que fornece o volume do sólido G em coordenadas esféricas é: