Considere o subespaço $W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y=0\right.$ e $\left.x-3 y+z=0\right\}$ de $\mathbb{R}^{4}$ . Determine uma base e a dimensão de $W$ .

O enunciado define o subespaço

W\subset\mathbb{R}^4

pelas equações lineares

x - y = 0

x - 3y + z = 0

. Precisamos encontrar uma base de

W

e sua dimensão, resolvendo esse sistema homogêneo e parametrizando as soluções.

Das equações

x - y = 0

x - 3y + z = 0

segue

x = y

e, substituindo na segunda,

y - 3y + z = 0,

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z = 2y.

As variáveis livres são

y

w

. Definindo

s = y

t = w

, o vetor genérico em

W

fica

(x,y,z,w) = (s,\,s,\,2s,\,t) = s\,(1,1,2,0) \;+\; t\,(0,0,0,1).

Os vetores

(1,1,2,0)

(0,0,0,1)

geram

W

e são linearmente independentes. Portanto uma base de

W

\{(1,1,2,0),\,(0,0,0,1)\}

e a dimensão de

W

é o número de vetores dessa base.

Base:

\{(1,1,2,0),\,(0,0,0,1)\}

Dimensão:

2

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(*)\left\{\begin{array}{ccc}2 x+4 y-6 z & = & a \\\ x-y+4 z & = & b \\\\ 6 y-14 z & = & c\end{array}\right.

W=\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;(x, y, z)

\left.(*)\right\}

W

a, b

c

W

\mathbb{R}^{3}

W

W