Considere os subespaços S e U de \mathbb{R}^{4} dados por: S=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x+y+z=0\right\} e U=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x+2 y=0\right\}. Determine uma base e a dimensão de S e de S \cap U.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^{4} e pede base e dimensão de S e de S\cap U.
Informações fornecidas:
  • S=\left\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+y+z=0\right\}.
  • U=\left\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+2y=0\right\}.
O que precisamos determinar:
  • Uma base de S e a dimensão de S.
  • Uma base de S\cap U e a dimensão de S\cap U.

Passo 2

Vamos começar parametrizando S. A condição em S é a equação linear
x+y+z=0.
Isto é uma única equação linear em quatro incógnitas (x,y,z,w), então esperamos ter 4-1=3 graus de liberdade (ou seja, dimensão 3). Para parametrizar, escolhemos variáveis livres. Uma escolha simples é tomar y,z,w como parâmetros livres e resolver para x.
Da equação obtemos
x = -y - z.
Assim um vetor genérico de S pode ser escrito como
(x,y,z,w)=(-y-z,\; y,\; z,\; w).
Agora escrevamos isso como combinação linear das variáveis livres:
(-y-z,\; y,\; z,\; w)=y\,(-1,1,0,0)+z\,(-1,0,1,0)+w\,(0,0,0,1).

Passo 3

Do passo anterior vemos que os vetores
v_1 = (-1,1,0,0),\qquad v_2 = (-1,0,1,0),\qquad v_3=(0,0,0,1)
geram S (qualquer elemento de S é combinação linear deles). Agora verificamos independência linear para concluir que são base.
Suponha
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
  • primeira coordenada: -a - b = 0,
  • segunda: a = 0,
  • terceira: b = 0,
  • quarta: c = 0.
Da segunda e terceira equações vem a=0 e b=0; então a primeira já fica satisfeita e c=0. Logo a=b=c=0, provando que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.
Portanto \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de S e
\dim(S)=3.

Passo 4

Agora encontramos S\cap U\). Um vetor \((x,y,z,w)\) está em \(S\cap U\) se satisfaz ambas as equações: \[\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] x+2y=0. \end{cases}
Resolvemos esse sistema. Da segunda equação vem
x = -2y.
Substituindo na primeira:
-2y + y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad -y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = y.
A variável w\] não aparece em nenhuma equação, então \(w é livre. Assim os parâmetros livres são y e w. Escrevemos o vetor genérico:
(x,y,z,w)=(-2y,\; y,\; y,\; w)=y\,(-2,1,1,0)+w\,(0,0,0,1).]

Passo 5

Do passo anterior vemos que os vetores
u_1 = (-2,1,1,0),\qquad u_2=(0,0,0,1)
geram S\cap U. Verificamos independência linear: suponha
\alpha\,u_1+\beta\,u_2=(0,0,0,0).
Das coordenadas obtemos -2\alpha=0 (primeira), \alpha=0 (segunda), \alpha=0 (terceira) e \beta=0 (quarta). Assim \alpha=\beta=0, então u_1,u_2 são linearmente independentes.
Portanto \{u_1,u_2\} é uma base de S\cap U e
\dim(S\cap U)=2.

Resposta

Base de S: \{(-1,1,0,0),\;(-1,0,1,0),\;(0,0,0,1)\} \
\dim(S)=3
Base de S\cap U: \{(-2,1,1,0),\;(0,0,0,1)\} \
\dim(S\cap U)=2