Considere os subespaços
e
de
dados por:
e
. Determine uma base e a dimensão de
e de
.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
e pede base e dimensão de
e de
.
Informações fornecidas:
-
. -
.
O que precisamos determinar:
- Uma base de
e a dimensão de . - Uma base de
e a dimensão de .
Passo 2
Vamos começar parametrizando
. A condição em
é a equação linear
Isto é uma única equação linear em quatro incógnitas
, então esperamos ter
graus de liberdade (ou seja, dimensão
). Para parametrizar, escolhemos variáveis livres. Uma escolha simples é tomar
como parâmetros livres e resolver para
.
Da equação obtemos
Assim um vetor genérico de
pode ser escrito como
Agora escrevamos isso como combinação linear das variáveis livres:
Passo 3
Do passo anterior vemos que os vetores
geram
(qualquer elemento de
é combinação linear deles). Agora verificamos independência linear para concluir que são base.
Suponha
Escrevendo coordenada a coordenada:
- primeira coordenada:
, - segunda:
, - terceira:
, - quarta:
.
Da segunda e terceira equações vem
e
; então a primeira já fica satisfeita e
. Logo
, provando que
são linearmente independentes.
Portanto
é uma base de
e
Passo 4
Agora encontramos
Resolvemos esse sistema. Da segunda equação vem
Substituindo na primeira:
A variável
é livre. Assim os parâmetros livres são
e
. Escrevemos o vetor genérico:
Passo 5
Do passo anterior vemos que os vetores
geram
. Verificamos independência linear: suponha
Das coordenadas obtemos
(primeira),
(segunda),
(terceira) e
(quarta). Assim
, então
são linearmente independentes.
Portanto
é uma base de
e
Resposta
Base de
:
\
Base de
:
\