Considere um tanque cilíndrico cheio de um líquido de densidade
, que pode ser drenado por uma saída lateral, através de uma pequena tubulação e uma válvula. Desprezando as perdas por atrito nessa tubulação lateral (incluindo a válvula), calcule o tempo necessário para se esgotar parcialmente o tanque. Considere que a velocidade na saída varia com a altura do nível no tanque através da relação
, e que os diâmetros do tanque e da tubulação são D e d, respectivamente. No início, antes da abertura da válvula, a altura do nível do líquido no tanque era
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de um líquido com densidade
. Esse tanque tem uma saída lateral por onde o líquido pode drenar através de uma tubulação e uma válvula. Queremos calcular o tempo necessário para esvaziar parcialmente o tanque. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade e a relação entre velocidade e altura do líquido. Também vamos usar um pouco de cálculo para integrar as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a velocidade com que o líquido sai pela tubulação. A velocidade na saída é dada por
, onde
é a altura do nível do líquido no tanque e
é uma constante que relaciona a velocidade à altura.
Passo 3
Agora, vamos calcular a vazão do líquido, que é o volume que sai por unidade de tempo. A vazão
é dada pela multiplicação da área da tubulação
pela velocidade
:
A área da tubulação, que tem diâmetro
, é:
Então, substituindo na expressão da vazão:
Passo 4
O próximo passo é relacionar a vazão com a taxa de variação do volume no tanque. Como o tanque é cilíndrico, o volume
do líquido no tanque em função da altura
é:
A taxa de variação do volume em relação ao tempo é:
Como o volume está diminuindo, podemos escrever:
Substituindo a expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial. Dividindo ambos os lados por
:
Rearranjando para separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados, de
até
e de
até
:
A integral do lado esquerdo é:
Passo 6
Resolvendo para
, temos:
Resposta
O tempo necessário para esgotar parcialmente o tanque, reduzindo a altura do líquido de
para
, é dado por: