Considere um tanque cilíndrico cheio de um líquido de densidade rho, que pode ser drenado por uma saída lateral, através de uma pequena tubulação e uma válvula. Desprezando as perdas por atrito nessa tubulação lateral (incluindo a válvula), calcule o tempo necessário para se esgotar parcialmente o tanque. Considere que a velocidade na saída varia com a altura do nível no tanque através da relação v=k raizz, e que os diâmetros do tanque e da tubulação são D e d, respectivamente. No início, antes da abertura da válvula, a altura do nível do líquido no tanque era h t=2k(Dd)^2(raizh-raizz)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de um líquido com densidade rho. Esse tanque tem uma saída lateral por onde o líquido pode drenar através de uma tubulação e uma válvula. Queremos calcular o tempo necessário para esvaziar parcialmente o tanque. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação da continuidade e a relação entre velocidade e altura do líquido. Também vamos usar um pouco de cálculo para integrar as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade com que o líquido sai pela tubulação. A velocidade na saída é dada por v = k raizz, onde z é a altura do nível do líquido no tanque e k é uma constante que relaciona a velocidade à altura.

Passo 3

Agora, vamos calcular a vazão do líquido, que é o volume que sai por unidade de tempo. A vazão Q é dada pela multiplicação da área da tubulação Atubo pela velocidade v:
Q = Atubo times v
A área da tubulação, que tem diâmetro d, é:
Atubo = pi d^24
Então, substituindo na expressão da vazão:
Q = pi d^24 times k raizz = pi k d^24 raizz

Passo 4

O próximo passo é relacionar a vazão com a taxa de variação do volume no tanque. Como o tanque é cilíndrico, o volume V do líquido no tanque em função da altura z é:
V = pi D^24 z
A taxa de variação do volume em relação ao tempo é:
dVdt = pi D^24 dzdt
Como o volume está diminuindo, podemos escrever:
dVdt = -Q
Substituindo a expressão de Q:
pi D^24 dzdt = -pi k d^24 raizz

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial. Dividindo ambos os lados por pi D^24:
dzdt = -k d^2D^2 raizz
Rearranjando para separar as variáveis z e t:
dzraizz = -k d^2D^2 dt
Integrando ambos os lados, de z = h até z = z e de t = 0 até t = t:
integralh^z dzraizz = -k d^2D^2 integral0^t dt
A integral do lado esquerdo é:
2(raizz - raizh) = -k d^2D^2 t

Passo 6

Resolvendo para t, temos:
t = 2k ( Dd )^2 (raizh - raizz)

Resposta

O tempo necessário para esgotar parcialmente o tanque, reduzindo a altura do líquido de h para z, é dado por:
t = 2k ( Dd )^2 ( raizh - raizz )

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