Considere o tanque de mistura aquecido, que tem as seguintes equações do modelo:
d Vd t=Fi-F d Vd t=FiV(Ti-T)+Q
Para o estado estacionário as taxas de fluxo de entrada e saída são de 100 litros/minuto, um volume líquido de 500 litros e temperatura de entrada de 20^circ C e saída de 40^circ C.
a) Encontrar a taxa de aquecimento no estado estacionário, Q.
b) Considerar uma mudança na temperatura de entrada de 20^circ C para 22^circ C. Encontre a temperatura do vaso para os primeiros 2 minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de mistura aquecido cujo modelo é dado por
dVdt=Fi - F
dTdt=FiVl(Ti - Tr) + Q
No estado estacionário temos Fi=F=100,L/min, V=500,L, Ti=20^circC e T=40^circC.
(a) pede a taxa de aquecimento Q nesse ponto.
(b) após mudar Ti para 22^circC no instante t=0, com T(0)=40^circC, determinar T(t) para 0<= t<=2,min.

Passo 2

No estado estacionário temos tfracdTdt=0. Substituindo na equação de temperatura:
0 = FiV(Ti - T) + Q
logo
Q = -FiVl(Ti - Tr) =100500(40 - 20) =4;^circC/min

Passo 3

Para t>0 com a nova entrada Ti=22^circC, a equação dinâmica é
dTdt =100500l(22 - Tr)+4 =0,2,(22 - T)+4 =8,4 - 0,2,T
Em forma padrão:
dTdt + 0,2,T = 8,4

Passo 4

Essa é uma EDO linear de 1ª ordem. A solução geral é soma da solução particular Tp e da homogênea Th:
- Particular: Tp = 8,40,2=42.
- Homogênea: Th = C e^-0,2t.
Logo
T(t) = 42 + C e^-0,2t
Impondo T(0)=40 40 = 42 + C, logo C=-2. Assim
T(t) = 42 - 2,e^-0,2t

Resposta

(a) Q = 4;^circC/min
(b) T(t) = 42 - 2,e^-0,2,t(0<= t<=2;min)

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