- Considere 3 tos intintos, paralelos e coplanares. A distäncia entre o tho central e seus vizinhos vale
(as espessuras dos fios são desprezíveis). Cada fio carrega uma corrente
na mesma direção.
(a) Mostre que o campo magnético se anula nos pontos
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há três fios infinitos, paralelos e coplanares.
- Os fios estão alinhados ao longo da mesma reta paralela ao eixo
e as posições (no plano perpendicular) dos seus eixos são colineares: o fio central está no ponto e os outros dois estão em e . - A distância entre o fio central e cada vizinho vale
. - Cada fio carrega a mesma corrente
e todas as correntes têm a mesma direção (por exemplo, todas no sentido positivo do eixo ).
O enunciado pede:
- Mostrar que o campo magnético resultante se anula nos pontos
(ou seja, provar que nesses pontos a soma vetorial dos campos magnéticos produzidos pelos três fios é zero).
Passo 2
Vamos escrever a expressão do campo magnético produzido por um fio infinito e explicar direções e sinais. Para um fio infinito, com corrente
ao longo do eixo
, o módulo do campo magnético a uma distância transversal
do fio é
onde
é a permeabilidade magnética do vácuo e
é a distância perpendicular do ponto ao eixo do fio.
Quanto à direção: o campo forma círculos concêntricos ao redor do fio (regra da mão direita). Num sistema de coordenadas onde os fios estão sobre o eixo
e estendem-se ao longo de
, o campo produzido por cada fio, em pontos situados também sobre o eixo
(isto é, no mesmo segmento de reta onde estão os fios, mas fora dos pontos ocupados pelos fios), aponta ao longo do eixo
. O sentido (positivo ou negativo em
) depende de o ponto estar à direita ou à esquerda do fio considerado:
- Se o ponto está à direita do fio, o campo do fio nesse ponto tem sentido
(positivo). - Se o ponto está à esquerda do fio, o campo tem sentido
(negativo).
Vou usar essa convenção de sinais para somar os campos escalares (com sinal) ao longo de
.
Passo 3
Escolhemos o eixo
com os fios em
,
e
. Vamos estudar pontos sobre o eixo
, com coordenada
qualquer (e
). Denotando por
a componente do campo ao longo de
gerada pelos três fios, cada contribuição tem módulo
e sinal positivo se
(ponto à direita do fio
) e negativo se
.
Para um ponto com
(intervalo entre o fio central e o fio da direita) os sinais são:
- Fio em
: o ponto está à direita do fio contribuição . - Fio em
: o ponto está à direita do fio central contribuição . - Fio em
: o ponto está à esquerda desse fio contribuição .
Somando (todas as contribuições são ao longo de
com os sinais indicados) temos
Queremos encontrar
tal que
. Como o fator
e o vetor
são comuns não nulos, basta resolver a equação escalar
Passo 4
Vamos resolver a equação escalar explicitamente. Multiplicando por
(que é positivo para
) obtemos:
Agora expandimos term a term:
Simplificando os termos semelhantes (observe que
aparece com sinais que se cancelam):
Portanto
Como estamos no intervalo
escolhemos a raiz positiva
Passo 5
Por simetria (os dados são simétricos em
) existe também a solução espelhada do outro lado, no intervalo
. Repetindo o raciocínio ou simplesmente usando simetria, obtemos a solução
Assim, os pontos sobre o eixo
(ou seja, na reta que contém os centros dos fios) onde o campo magnético total se anula são exatamente
Fisicamente: entre os fios a soma das intensidades com os sinais corretos leva a anulação nesses pontos específicos; fora da região entre os fios não há cancelamento total (as contribuições têm sinais que não permitem soma zero).