1. Considere 3 tos intintos, paralelos e coplanares. A distäncia entre o tho central e seus vizinhos vale \ell (as espessuras dos fios são desprezíveis). Cada fio carrega uma corrente I na mesma direção.
(a) Mostre que o campo magnético se anula nos pontos \pm \ell / \sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há três fios infinitos, paralelos e coplanares.
  • Os fios estão alinhados ao longo da mesma reta paralela ao eixo z e as posições (no plano perpendicular) dos seus eixos são colineares: o fio central está no ponto x=0 e os outros dois estão em x=-\ell e x=+\ell.
  • A distância entre o fio central e cada vizinho vale \ell.
  • Cada fio carrega a mesma corrente I e todas as correntes têm a mesma direção (por exemplo, todas no sentido positivo do eixo z).
O enunciado pede:
  • Mostrar que o campo magnético resultante se anula nos pontos x=\pm \dfrac{\ell}{\sqrt{3}} (ou seja, provar que nesses pontos a soma vetorial dos campos magnéticos produzidos pelos três fios é zero).

Passo 2

Vamos escrever a expressão do campo magnético produzido por um fio infinito e explicar direções e sinais. Para um fio infinito, com corrente I ao longo do eixo z, o módulo do campo magnético a uma distância transversal r do fio é
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
onde \mu_0 é a permeabilidade magnética do vácuo e r é a distância perpendicular do ponto ao eixo do fio.
Quanto à direção: o campo forma círculos concêntricos ao redor do fio (regra da mão direita). Num sistema de coordenadas onde os fios estão sobre o eixo x e estendem-se ao longo de z, o campo produzido por cada fio, em pontos situados também sobre o eixo x (isto é, no mesmo segmento de reta onde estão os fios, mas fora dos pontos ocupados pelos fios), aponta ao longo do eixo y. O sentido (positivo ou negativo em y) depende de o ponto estar à direita ou à esquerda do fio considerado:
  • Se o ponto está à direita do fio, o campo do fio nesse ponto tem sentido \hat{y} (positivo).
  • Se o ponto está à esquerda do fio, o campo tem sentido -\hat{y} (negativo).
Vou usar essa convenção de sinais para somar os campos escalares (com sinal) ao longo de y.

Passo 3

Escolhemos o eixo x com os fios em x=-\ell, x=0 e x=+\ell. Vamos estudar pontos sobre o eixo x, com coordenada x qualquer (e y=0). Denotando por B_{\text{total}}(x) a componente do campo ao longo de y gerada pelos três fios, cada contribuição tem módulo \dfrac{\mu_0 I}{2\pi |x-x_i|} e sinal positivo se x>x_i (ponto à direita do fio i) e negativo se x<x_i.
Para um ponto com 0<x<\ell (intervalo entre o fio central e o fio da direita) os sinais são:
  • Fio em x=-\ell: o ponto está à direita do fio \Rightarrow contribuição +\dfrac{\mu_0 I}{2\pi (x+\ell)}.
  • Fio em x=0: o ponto está à direita do fio central \Rightarrow contribuição +\dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}.
  • Fio em x=+\ell: o ponto está à esquerda desse fio \Rightarrow contribuição -\dfrac{\mu_0 I}{2\pi (\ell-x)}.
Somando (todas as contribuições são ao longo de \hat{y} com os sinais indicados) temos
B_{\text{total}}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{1}{x+\ell}+\frac{1}{x}-\frac{1}{\ell-x}\right)\hat{y}.
Queremos encontrar x tal que B_{\text{total}}(x)=0. Como o fator \dfrac{\mu_0 I}{2\pi} e o vetor \hat{y} são comuns não nulos, basta resolver a equação escalar
\frac{1}{x+\ell}+\frac{1}{x}-\frac{1}{\ell-x}=0.

Passo 4

Vamos resolver a equação escalar explicitamente. Multiplicando por x(x+\ell)(\ell-x) (que é positivo para 0<x<\ell) obtemos:
x(\ell-x) + (x+\ell)(\ell-x) - x(x+\ell)=0.
Agora expandimos term a term:
x\ell - x^2 + \bigl(x\ell + \ell^2 - x^2 - x\ell\bigr) - \bigl(x^2 + x\ell\bigr)=0.
Simplificando os termos semelhantes (observe que x\ell aparece com sinais que se cancelam):
x\ell - x^2 + \ell^2 - x^2 - x^2 - x\ell = \ell^2 - 3x^2 = 0.
Portanto
\ell^2 - 3x^2=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2=\frac{\ell^2}{3}.
Como estamos no intervalo 0<x<\ell escolhemos a raiz positiva
x=\frac{\ell}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Por simetria (os dados são simétricos em x\mapsto -x) existe também a solução espelhada do outro lado, no intervalo -\ell<x<0. Repetindo o raciocínio ou simplesmente usando simetria, obtemos a solução
x=-\frac{\ell}{\sqrt{3}}.
Assim, os pontos sobre o eixo x (ou seja, na reta que contém os centros dos fios) onde o campo magnético total se anula são exatamente
x=\pm\frac{\ell}{\sqrt{3}}.
Fisicamente: entre os fios a soma das intensidades com os sinais corretos leva a anulação nesses pontos específicos; fora da região entre os fios não há cancelamento total (as contribuições têm sinais que não permitem soma zero).

Resposta

x=\pm\dfrac{\ell}{\sqrt{3}}