Considere a transformação linear 
  definida por
 
Obtenha a expressão de 
 , supondo que 
 .
Passo 1
Vamos resolver um problema de transformações lineares em álgebra linear. A questão nos apresenta uma transformação linear 
  que mapeia polinômios de grau até 3 (
 ) para polinômios de grau até 2 (
 ). Precisamos encontrar a expressão da transformação 
  quando aplicamos a um polinômio geral 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Em álgebra linear, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que, se 
  é linear, então para quaisquer polinômios 
  e 
 , e para quaisquer escalares 
  e 
 :
Passo 3
A transformação 
  está definida por:
Aqui, 
  representa a derivada de 
  em relação a 
 , e 
  é o valor de 
  quando 
 .
Passo 4
Vamos calcular 
  para o polinômio geral 
 :
Passo 5
Agora, calculamos 
 , que é o valor de 
  quando 
 :
Passo 6
Substituímos 
  e 
  na expressão da transformação 
 :
Passo 7
Vamos distribuir os termos:
Passo 8
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, a expressão da transformação 
  aplicada ao polinômio 
  é: