Considere a transformação linear
definida por
(a) Determine uma base e a dimensão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. O que a gente precisa encontrar aqui é uma base e a dimensão do
, que é o núcleo da transformação. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, ao passarem pela transformação
, resultam no vetor zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da transformação
. O
é o conjunto de todos os pares
em
que satisfazem
. Ou seja, queremos encontrar todos os
tais que:
Passo 3
Agora, vamos resolver as equações que resultam dessa igualdade. Temos que:
A segunda equação
é sempre verdadeira, então a única condição que precisamos considerar é
.
Passo 4
Vamos simplificar a equação
. Podemos reescrevê-la como:
Isso significa que, para qualquer valor de
, o valor de
deve ser o dobro de
. Então, todos os vetores no núcleo têm a forma
, onde
é um número real.
Passo 5
Para expressar o
de forma vetorial, podemos fatorar o
:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor
. Portanto, o conjunto
é uma base para o
.
Passo 6
Por fim, a dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Como nossa base tem apenas um vetor
, a dimensão do
é 1.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é igual a 1.