Considere a transformação linear T: R^2 R^2 definida por
T(x, y)=(2 x-y, 0)
(a) Determine uma base e a dimensão de Ker(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O que a gente precisa encontrar aqui é uma base e a dimensão do , que é o núcleo da transformação. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, ao passarem pela transformação , resultam no vetor zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da transformação T(x, y) = (2x - y, 0) = (0, 0) . O é o conjunto de todos os pares em que satisfazem . Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:

Passo 3

Agora, vamos resolver as equações que resultam dessa igualdade. Temos que:
2x - y = 0 e 0 = 0
A segunda equação é sempre verdadeira, então a única condição que precisamos considerar é .

Passo 4

Vamos simplificar a equação y = 2x . Podemos reescrevê-la como:
Isso significa que, para qualquer valor de , o valor de deve ser o dobro de . Então, todos os vetores no núcleo têm a forma , onde é um número real.

Passo 5

Para expressar o (x, 2x) = x cdot (1, 2) de forma vetorial, podemos fatorar o :
Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor . Portanto, o conjunto é uma base para o .

Passo 6

Por fim, a dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Como nossa base tem apenas um vetor , a dimensão do é 1.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é igual a 1.

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