A face interna de uma parede plana em z=0 é aquecida por um gás quente que flui à temperatura T_{1}, e a face externa em z=L é resfriada por um gás frio que flui à temperatura T_{2}. Os coeficiente de transferência de calor do lado quente e do lado frio são h_{1} e h_{2}, respectivamente. Escreva as condições de contorno nas faces interna e externa.
Uma barra de cobre de raio r=a, aquecida pela passagem de corrente elétrica, dissipa calor por conveção de sua superfície externa em r=a para o ar ambiente à temperatura T_{\infty}, com um coeficiente de transferência de calor h_{\infty}. Escreva a condição de contorno apropriada na superfície externa em r=a.

Passo 1

O enunciado pede as condições de contorno de convecção nas superfícies de um corpo sólido. Vamos usar o princípio de Fourier para condução interna e a condição de convecção na superfície, que diz que o fluxo de calor conduzido normal à superfície é igual ao fluxo de calor por convecção para o fluido adjacente.

Passo 2

A condição de contorno de convecção genérica numa superfície qualquer S do sólido é
-k\,\frac{\partial T}{\partial n}\bigg|_{S} \;=\; h\,\bigl[T(S)-T_{\infty}\bigr],
onde k é a condutividade térmica do sólido, \partial T/\partial n é a derivada normal à superfície (com a normal saindo do sólido), h é o coeficiente de transferência por convecção, T(S) é a temperatura superficial e T_{\infty} é a temperatura do fluido.

Passo 3

Para a parede plana em z=0 e em z=L tomamos a normal saindo do sólido na direção positiva de z:
Em z=0 a normal aponta para -\hat z, de modo que \partial T/\partial n=-\partial T/\partial z. Logo
k\,\frac{\partial T}{\partial z}\bigg|_{z=0} \;=\; h_{1}\,\bigl[T(0)-T_{1}\bigr].
Em z=L a normal aponta para +\hat z, então \partial T/\partial n=\partial T/\partial z e
-\,k\,\frac{\partial T}{\partial z}\bigg|_{z=L} \;=\; h_{2}\,\bigl[T(L)-T_{2}\bigr].

Passo 4

Para a barra cilíndrica de raio r=a a normal na superfície aponta radialmente para fora +\hat r, então \partial T/\partial n=\partial T/\partial r em r=a e a condição de convecção fica
-\,k\,\frac{\partial T}{\partial r}\bigg|_{r=a} \;=\; h_{\infty}\,\bigl[T(a)-T_{\infty}\bigr].

Resposta

Em z=0:
k\,\frac{\partial T}{\partial z}\bigg|_{z=0} = h_{1}\,\bigl[T(0)-T_{1}\bigr].
Em z=L:
-\,k\,\frac{\partial T}{\partial z}\bigg|_{z=L} = h_{2}\,\bigl[T(L)-T_{2}\bigr].
Em r=a (barra cilíndrica):
-\,k\,\frac{\partial T}{\partial r}\bigg|_{r=a} = h_{\infty}\,\bigl[T(a)-T_{\infty}\bigr].

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