Considere
munido com o produto interno usual e o subespaço vetorial.
. b) Determine o subespaço
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o espaço vetorial
com o produto interno usual, e um subespaço
definido por
. O que precisamos fazer aqui é descobrir o subespaço
, que é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a cada vetor em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto é chamado de complemento ortogonal de
e contém todos os vetores que são perpendiculares a todos os vetores de
. Em outras palavras, se
, então para qualquer
, o produto interno
.
Passo 3
Agora, vamos identificar uma maneira fácil de encontrar
. Observamos que a equação
define um plano em
. O vetor normal a esse plano é
, porque os coeficientes de
,
e
na equação representam as componentes do vetor normal.
Passo 4
Em
, o complemento ortogonal de um plano é formado por todos os múltiplos do vetor normal a esse plano. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
é um escalar real.
Passo 5
Portanto, o subespaço
é dado por:
Isso significa que
é a coleção de todos os vetores que são múltiplos do vetor
.
Resposta
O subespaço
é: