Considere \vec{F}(x, y, z)=(\sin x, \cos y, x z). A curva C é a interseção do cilindro \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1 com o plano z=1. Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(\sin x,\cos y,xz) e a curva C definida como interseção do cilindro \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 com o plano z=1. O que se pede é calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações relevantes fornecidas:
\vec{F}(x,y,z)=(\sin x,\cos y,xz).
A curva C é a interseção do cilindro \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 com o plano z=1. Note que dessa equação segue que x^{2}+y^{2}=4, ou seja, C é o círculo de raio 2 no plano z=1.
A integral pedida é a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C.
Passo 2
Qual método usar e por quê: como C é uma curva fechada e simples (um círculo) que é a fronteira de uma superfície plana (o disco x^{2}+y^{2}\le 4 em z=1), uma boa opção é aplicar o Teorema de Stokes. Vou explicar o teorema e mostrar por que ele vale aqui.
Teorema de Stokes (forma usada): para uma superfície S com fronteira \partial S orientada positivamente,
\partial S é a curva que limita S (no nosso caso \partial S=C).
\nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}.
\vec{n} é o versor normal unitário à superfície S, escolhido com a orientação que corresponde à orientação de \partial S via a regra da mão direita.
Condições para usar Stokes: \vec{F} deve ter derivadas parciais contínuas na região que contém S. Nosso \vec{F} tem derivadas contínuas (é composto por funções trigonométricas e polinômio), então podemos aplicar Stokes com segurança.
Passo 3
Escolha da superfície S e orientação: tomo S como o disco plano
S=\{(x,y,1)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\},
cuja fronteira \partial S é exatamente o círculo C. Vou escolher a normal para cima (vetor unitário \vec{n}=(0,0,1)); isso corresponde a orientar C no sentido anti-horário quando visto de cima (e, se o enunciado pedisse o sentido oposto, o resultado apenas mudaria de sinal, mas veremos que aqui o resultado será zero, então o sinal não importa).
Passo 4
Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Primeiro escrevo as componentes de \vec{F}:
Observação didática rápida: aqui foi prático usar Stokes porque o rotacional ficou muito simples e a normal escolhida anulou o produto escalar. Se alguém tentasse parametrizar C diretamente (por exemplo x=2\cos t,\;y=2\sin t,\;z=1) acabaria com integrais envolvendo \sin(2\cos t) e \cos(2\sin t) que são bem mais complicadas; Stokes evita esse trabalho.