Considere \vec{F}(x, y, z)=(\sin x, \cos y, x z). A curva C é a interseção do cilindro \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1 com o plano z=1. Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(\sin x,\cos y,xz) e a curva C definida como interseção do cilindro \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 com o plano z=1. O que se pede é calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \vec{F}(x,y,z)=(\sin x,\cos y,xz).
  • A curva C é a interseção do cilindro \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 com o plano z=1. Note que dessa equação segue que x^{2}+y^{2}=4, ou seja, C é o círculo de raio 2 no plano z=1.
  • A integral pedida é a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C.

Passo 2

Qual método usar e por quê: como C é uma curva fechada e simples (um círculo) que é a fronteira de uma superfície plana (o disco x^{2}+y^{2}\le 4 em z=1), uma boa opção é aplicar o Teorema de Stokes. Vou explicar o teorema e mostrar por que ele vale aqui.
Teorema de Stokes (forma usada): para uma superfície S com fronteira \partial S orientada positivamente,
\int_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Aqui:
  • \partial S é a curva que limita S (no nosso caso \partial S=C).
  • \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}.
  • \vec{n} é o versor normal unitário à superfície S, escolhido com a orientação que corresponde à orientação de \partial S via a regra da mão direita.
    Condições para usar Stokes: \vec{F} deve ter derivadas parciais contínuas na região que contém S. Nosso \vec{F} tem derivadas contínuas (é composto por funções trigonométricas e polinômio), então podemos aplicar Stokes com segurança.

Passo 3

Escolha da superfície S e orientação: tomo S como o disco plano
S=\{(x,y,1)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\},
cuja fronteira \partial S é exatamente o círculo C. Vou escolher a normal para cima (vetor unitário \vec{n}=(0,0,1)); isso corresponde a orientar C no sentido anti-horário quando visto de cima (e, se o enunciado pedisse o sentido oposto, o resultado apenas mudaria de sinal, mas veremos que aqui o resultado será zero, então o sinal não importa).

Passo 4

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Primeiro escrevo as componentes de \vec{F}:
P(x,y,z)=\sin x,\qquad Q(x,y,z)=\cos y,\qquad R(x,y,z)=xz.
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Agora calculo cada derivada parcial (vou explicar cada uma):
  • \dfrac{\partial R}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(xz)=0 porque xz não depende de y.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(\cos y)=0 porque \cos y não depende de z.
  • \dfrac{\partial P}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(\sin x)=0 porque \sin x não depende de z.
  • \dfrac{\partial R}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(xz)=z.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(\cos y)=0.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(\sin x)=0.
Substituindo na fórmula do rotacional:
\nabla\times\vec{F}=(0-0,\;0-z,\;0-0)=(0,-z,0).

Passo 5

Aplicar Stokes: precisamos avaliar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} na superfície S. Como em S temos z=1, o rotacional sobre S vale
\nabla\times\vec{F}\big|_{S}=(0,-1,0).
O versor normal que escolhemos é \vec{n}=(0,0,1). Então o produto escalar é
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=(0,-1,0)\cdot(0,0,1)=0.
Portanto o integrando da integral de superfície é zero em todo ponto de S.

Passo 6

Concluir a integral de superfície e, pelo teorema de Stokes, a integral de linha. Como (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=0 em toda a superfície S,
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS= \iint_{S}0\,dS = 0.
Pelo Teorema de Stokes isso implica
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
Observação didática rápida: aqui foi prático usar Stokes porque o rotacional ficou muito simples e a normal escolhida anulou o produto escalar. Se alguém tentasse parametrizar C diretamente (por exemplo x=2\cos t,\;y=2\sin t,\;z=1) acabaria com integrais envolvendo \sin(2\cos t) e \cos(2\sin t) que são bem mais complicadas; Stokes evita esse trabalho.

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