Considere o vetor u=(-1,3). Determine alpha tal que o vetor v=(alpha,-2) seja ortogonal ao vetor u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores: u = (-1, 3) e v = (alpha, -2). A pergunta é para encontrar o valor de alpha que faz com que esses dois vetores sejam ortogonais. Isso significa que o produto escalar deles precisa ser zero. Então, vamos usar o conceito de produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se tivermos a = (a1, a2) e b = (b1, b2), o produto escalar é dado por:
a cdot b = a1 cdot b1 + a2 cdot b2
No nosso caso, queremos que u cdot v = 0 porque os vetores devem ser ortogonais.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os vetores que temos:
u cdot v = (-1) cdot alpha + 3 cdot (-2)
Simplificando isso:
- alpha + (-6) = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de alpha:
- alpha - 6 = 0
Vamos somar 6 dos dois lados:
- alpha = 6
Multiplicando por -1 para isolar alpha:
alpha = -6

Resposta

O valor de alpha que faz com que os vetores u e v sejam ortogonais é alpha = -6.

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