Considere os vetores do espaço vec{u}=(1,-2,3), \vec{v}=(2,0,-1), \vec{w}=(-1,1,2). Calcule:
b) 2 \vec{u}-\vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede uma combinação linear. Os dados são:
  • \vec{u} = (1,-2,3)
  • \vec{v} = (2,0,-1) (não será usada aqui, mas foi dada)
  • \vec{w} = (-1,1,2)
A pergunta a ser respondida é: calcular
2\vec{u}-\vec{w}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa multiplicar um vetor por um escalar.
Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e c é um número real (escalar), então a multiplicação escalar é definida componente a componente:
c\vec{a} = (c a_1,\; c a_2,\; c a_3).
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes do vetor \vec{a} e c é o número que multiplica cada componente.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso com c=2 e \vec{u}=(1,-2,3):
2\vec{u} = (2\cdot 1,\; 2\cdot (-2),\; 2\cdot 3).
Agora calculamos cada produto:
2\cdot 1 = 2,\qquad 2\cdot (-2) = -4,\qquad 2\cdot 3 = 6.
Portanto
2\vec{u} = (2,-4,6).

Passo 4

Agora lembrar a definição de subtração de vetores. Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}-\vec{b} = (a_1-b_1,\; a_2-b_2,\; a_3-b_3).
Ou seja, subtrai-se componente a componente.

Passo 5

Vamos subtrair \vec{w}=(-1,1,2) de 2\vec{u}=(2,-4,6) componente a componente:
  • Primeira componente: 2 - (-1) = 2 + 1 = 3.
  • Segunda componente: -4 - 1 = -5.
  • Terceira componente: 6 - 2 = 4.
Assim:
2\vec{u}-\vec{w} = (3,-5,4).

Passo 6

Resumo rápido de como fazer isso na prova:
  • Multiplique o vetor \vec{u} por 2 multiplicando cada componente por 2.
  • Subtraia componente a componente o vetor \vec{w}.
    Sempre faça as contas uma por uma (primeira, segunda, terceira componente) para evitar erros de sinal.

Resposta

(3,-5,4)