Considere os vetores \vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath} e \vec{b}=\hat{\imath}-\hat{\jmath}. Determine o módulo, direção e sentido dos vetores:
\vec{b}

Passo 1

O enunciado nos deu o vetor
\vec{b} = \hat{\imath} - \hat{\jmath}.
Pede explicitamente três coisas sobre \vec{b}: o módulo, a direção e o sentido.
As informações relevantes são:
  • as componentes do vetor são b_x=1 e b_y=-1 (peguei isso diretamente da expressão \vec{b}=\hat{\imath}-\hat{\jmath});
  • quero o módulo (\|\vec{b}\|), a direção (ângulo que \vec{b} faz com o eixo x positivo) e o sentido (para onde ele aponta, qualitativamente).

Passo 2

Módulo de um vetor no plano: se um vetor tem componentes (x,y), o módulo é dado pela fórmula do teorema de Pitágoras,
\|\vec{v}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicação curta: imagina o vetor como a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos valem x e y; a hipotenusa tem comprimento \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aplicando a \vec{b} com b_x=1 e b_y=-1:
\|\vec{b}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 3

Direção (ângulo) — definição e fórmula: a direção \theta é o ângulo entre o vetor e o eixo x positivo, medido no sentido anti-horário. Para um vetor com componentes (x,y) usa-se
\tan\theta=\frac{y}{x}.
Importante: a função \arctan dá um valor principal que precisa ser corrigido conforme o quadrante (sinal de x e y) para obter o ângulo \theta correto.
Para \vec{b} temos
\tan\theta=\frac{b_y}{b_x}=\frac{-1}{1}=-1.
O valor principal é \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4} (ou -45^\circ). Como b_x=1>0 e b_y=-1<0, o vetor está no quarto quadrante; nesse caso o valor -\dfrac{\pi}{4} já é o ângulo correto medido a partir do eixo x positivo (alternativamente pode-se dar o ângulo equivalente positivo)
\theta=-\frac{\pi}{4}\quad\text{(ou)}\quad \theta=\frac{7\pi}{4}\quad\text{(ou)}\quad -45^\circ\\ \text{(ou }315^\circ\text{)}.

Passo 4

Sentido — interpretação geométrica: o “sentido” de um vetor é a direção para a qual ele aponta a partir da sua cauda até a sua cabeça. Aqui, \vec{b}=(1,-1) aponta para a direita (componente x positiva) e para baixo (componente y negativa). Em linguagem simples: aponta para o quarto quadrante, do ponto (0,0) em direção a (1,-1). Pode-se também descrever o sentido como “para sudeste” se usar pontos cardeais.

Passo 5

Representação em forma de vetor unitário (útil na prova): o vetor unitário na direção de \vec{b} é
\hat{u}_{b}=\frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\hat{\imath}-\hat{\jmath}\bigr).
Logo \vec{b} pode ser escrito como
\vec{b}=\sqrt{2}\,\hat{u}_{b}.

Resposta

Módulo: \sqrt{2}
Direção: \theta=-\dfrac{\pi}{4} (equivalente a \theta=\dfrac{7\pi}{4}, ou -45^\circ / 315^\circ)
Sentido: aponta para a direita e para baixo (quadrante IV), do ponto (0,0) em direção a (1,-1).