Considere os vetores \vec{a}=(1,2) \mathrm{e} \vec{b}=(x, 4). Sabendo que os vetores são perpendiculares, determine o valor de x.
\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(x, 4)
a) -8
b) -4
c) 4
d) 8
e) 16

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores e a condição:
  • \vec{a}=(1,2)
  • \vec{b}=(x,4)
  • Condição: os vetores são perpendiculares.
O que o problema pede: determinar o valor de x sabendo que \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares. As opções dadas são: -8,\\\ -4,\\\ 4,\\\ 8,\\\ 16.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar):
  • Produto escalar (ou produto interno) de dois vetores em \mathbb{R}^2: para \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2),
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2.
  • Relação com perpendicularidade: dois vetores são perpendiculares (ortogonais) se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Isso vem da fórmula alternativa
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores; se \theta=90^\circ então \cos\theta=0 e o produto escalar é zero.
Resumo prático para a prova: quando pedirem “vetores perpendiculares”, basta calcular o produto escalar e igualar a zero.

Passo 3

Aplicando o produto escalar aos vetores dados: para \vec{a}=(1,2) e \vec{b}=(x,4),
\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot x + 2\cdot 4.

Passo 4

Usando a condição de perpendicularidade, igualamos o produto escalar a zero e resolvemos para x:
1\cdot x + 2\cdot 4 = 0.
Calcule 2\cdot 4:
x + 8 = 0.
Isolando x:
x = -8.

Passo 5

Verificação rápida para ficar seguro: com x=-8,
\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot(-8) + 2\cdot 4 = -8+8 = 0,
portanto os vetores são realmente perpendiculares. Dica final: esse é o procedimento padrão — produto escalar igual a zero — e funciona em qualquer dimensão.

Resposta

-8