Q3) Considere uma viga de concreto armado simplesmente apoiada, utilizada em um tabuleiro de ponte urbana, submetida a carregamento distribuído permanente e variável. Devido às grandes deformações e à fissuração progressiva do concreto, o módulo de elasticidade efetivo da seção passa a depender da deflexão máxima w.
A deflexão máxima no meio do vão é modelada pelo sistema não linear acoplado:
Por exigência normativa, a deflexão admissível deve satisfazer:
w \leq \frac{L}{350}
(a) Mostre que é possível construir uma equação implícita não linear em w.
(b) Reescreva o sistema na forma de ponto fixo w=g(w), identificando explicitamente a função iterativa.
(c) Determine um intervalo fisicamente admissível para w, levando em conta:
a perda de rigidez do material,
o critério normativo de serviço,
e a positividade de E_{\text {ef }}(w).
(d) Verifique rigorosamente a condição de convergência do Método do Ponto Fixo no intervalo escolhido, analisando:
\left|g^{\prime}(w)\right|<1
(e) Determine numericamente a deflexão máxima w com tolerância 10^{-7}.
(f) Implemente o método em MATLAB, apresentando:
a evolução das iterações,
o erro relativo,
e um gráfico de convergência.
(g) Analise se a deflexão obtida atende ao critério normativo e discuta as implicações estruturais.
Passo 1
Vou começar identificando claramente o que o enunciado pede e quais dados são fornecidos:
O enunciado fornece um sistema não linear acoplado para a deflexão máxima no meio do vão w:
Perguntas do enunciado (resumidas):
(a) construir uma equação implícita não linear em w;
(b) escrever o sistema como ponto fixo w=g(w) e identificar g;
(c) determinar um intervalo fisicamente admissível para w, considerando perda de rigidez, critério normativo e positividade de E_{\mathrm{ef}}(w);
(d) verificar a condição de convergência do método do ponto fixo \left|g'(w)\right|<1 no intervalo escolhido;
(e) obter numericamente w com tolerância 10^{-7};
(f) implementar em MATLAB mostrando iterações, erro relativo e gráfico de convergência;
(g) verificar se a deflexão atende ao critério normativo e discutir implicações.
A resolução começará agora.
Passo 2
(a) Construção da equação implícita em w.
Explicação do procedimento (passo a passo): a equação original envolve E_{\mathrm{ef}}(w). Substitui-se E_{\mathrm{ef}}(w)=E_{0}(1-\beta w) na expressão de w. Para organizar a expressão introduzimos uma constante auxiliar que facilita as contas e a análise:
Defina
C := \frac{5 q L^{4}}{384 E_{0} I}.
Isto é apenas uma constante numérica (tem dimensões de comprimento) e facilita escrever a equação. Substituindo, obtemos
w = \frac{C}{1-\beta w}\,(1+\alpha w^{2}).
Multiplicando ambos os lados por (1-\beta w) obtemos uma forma polinomial (implícita)
w(1-\beta w) = C(1+\alpha w^{2}).
Agora organizamos tudo num lado:
w - \beta w^{2} - C - C\alpha w^{2} = 0.
Agrupando os termos em w^{2} obtemos
(\beta + C\alpha) w^{2} - w + C = 0.
Comentário didático: perceba que, embora o problema começasse como uma equação racional não linear, ela reduz-se aqui a uma equação quadrática em w. Isso é ótimo — a solução analítica existe (fórmula de Bhaskara). Porém, a forma original w = \dfrac{C(1+\alpha w^{2})}{1-\beta w} é útil para construir um método de ponto fixo direto; já a forma quadrática é útil para resolver exatamente e validar o resultado numérico do ponto fixo.
Passo 3
(b) Reescrever na forma de ponto fixo w=g(w). Identificação explícita da função iterativa.
A forma mais natural de ponto fixo obtida diretamente a partir da expressão substituída é:
g(w)=\frac{C(1+\alpha w^{2})}{1-\beta w}.
Explicação didática: um método de ponto fixo constrói uma sequência
w_{n+1}=g(w_{n}),
esperando que esta sequência convirja para um w tal que w=g(w), ou seja, seja uma solução da equação original. Existem outras possíveis formas g (por exemplo isolando w de outro modo), mas esta é a mais direta e natural aqui. Note também que, usando a manipulação algébrica feita no passo anterior, a mesma equação pode ser escrita como
w = C + (\beta + C\alpha) w^{2},
ou seja a alternativa
\tilde g(w)=C+(\beta+C\alpha)w^{2}.
Ambas são formas de ponto fixo; cada uma tem comportamento de convergência diferente — aqui vamos trabalhar com a primeira forma g(w) porque ela surge diretamente e permite verificar monotonicidade e derivadas simples.
Passo 4
(c) Determinação de um intervalo fisicamente admissível para w.
Temos três restrições dadas:
Positividade do deslocamento físico: w\ge 0.
Positividade do módulo efetivo: E_{\mathrm{ef}}(w)=E_{0}(1-\beta w)>0 implica
Observação crucial (muito importante!): usando a constante C definida no Passo 2, note que g(0)=C. Vou calcular C numericamente com os dados fornecidos:
Repare que g(0)=C\approx 0{,}05814\\ \mathrm{m}, que é maior do que o limite normativo 0{,}02143\\ \mathrm{m}. Como g(w) é positiva para w\ge0 e (como veremos) crescente, isso significa que para qualquer w\in I_{\text{serv}} tem-se g(w)\ge g(0)=C>0{,}05814, portanto g(w)\notin I_{\text{serv}}. Conclusão: não existe w em I_{\text{serv}} que satisfaça w=g(w). Em outras palavras, não há solução que satisfaça simultaneamente a equação e o limite normativo — isto indica que, com os parâmetros dados, a estrutura não atende o critério normativo de serviço.
Porém, matematicamente a equação pode ter soluções fora do intervalo normativo (a equação quadrática tem duas raízes positivas, uma pequena da ordem de 10^{-2} e outra muito maior). Para fins de encontrar a solução real da equação não-linear e para fins numéricos do ponto fixo, escolhemos um intervalo de trabalho que:
respeite E_{\mathrm{ef}}>0 (ou seja w<1/\beta);
contenha a solução “realista” de pequena amplitude.
Um intervalo conveniente e seguro para aplicar o ponto fixo (e que contém a solução pequena) é, por exemplo,
I = [0,\\\ 0{,}12]\\ \mathrm{m},
porque 0{,}12<1/\beta e g([0,0{,}12])\subset[0,0{,}12] (verificação numérica no passo seguinte). Este intervalo é maior que o limite de serviço mas é adequado para encontrar a solução do modelo físico; depois verificaremos a conformidade com a norma.
Passo 5
(d) Verificação rigorosa da condição de convergência do Método do Ponto Fixo no intervalo escolhido (análise de \left|g'(w)\right|<1).
Conclusão rigorosa: no intervalo I=[0,0{,}12] a condição |g'(w)|<1 é satisfeita. Além disso, verificou-se numericamente que g(I)\subset I (porque g(0)\approx0{,}05814 e g(0{,}12)\approx0{,}0788, i.e. a imagem do intervalo fica dentro do intervalo). Portanto, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, a iteração w_{n+1}=g(w_{n}) com qualquer w_{0}\in I converge para o único ponto fixo em I.
Observação sobre o intervalo normativo: no intervalo normativo I_{\text{serv}}=[0,0{,}02143] a condição de contração |g'(w)|<1 também vale (valores ainda menores), mas o problema é que g(I_{\text{serv}})\not\subset I_{\text{serv}} (porque g(0)=C\approx0{,}05814>0{,}02143), logo não existe ponto fixo em I_{\text{serv}}. Assim não há solução que atenda à norma.
Passo 6
(e) Determinação numérica de w com tolerância 10^{-7}.
Duas alternativas para obter numericamente w:
usar a iteração de ponto fixo w_{n+1}=g(w_{n}) (com g definido acima) — converge porque demonstrámos contração em I=[0,0{,}12];
usar a solução exata da quadrática obtida no Passo 2 e escolher a raiz fisicamente pequena.
Vou fazer as duas coisas (primeiro o método analítico rápido para checar o resultado; depois comento o procedimento iterativo):
Escolhemos a raíz pequena w_{1}\approx 0{,}0655229\\ \mathrm{m} como solução física relevante (a outra é muito grande para um tabuleiro de ponte e corresponde a um ramo de deformação muito maior). Esta raiz pequena também é a que a iteração de ponto fixo convergirá se iniciarmos com w_{0} próximo a zero (por exemplo w_{0}=0{,}06).
Para garantir a precisão até a tolerância 10^{-7} pode-se aplicar o método do ponto fixo até |w_{n+1}-w_{n}|<10^{-7} ou usar a fórmula quadrática com aritmética suficiente (estou a dar aqui o valor final arredondado com precisão compatível com 10^{-7}):
w \approx 0{,}065522900\\ \mathrm{m}\quad (\text{tolerância }10^{-7}).â
Comentário: se se desejar executar a iteração de ponto fixo numericamente, escolhe-se w_{0}\in I e repete-se w_{n+1}=g(w_{n}) até convergir. A convergência é linear (contracção), e o número de iterações será moderado (poucas dezenas típico).
Passo 7
(f) Implementação em MATLAB (código e instruções para obter evolução das iterações, erro relativo e gráfico).
Explicação curta: abaixo vai um script MATLAB autocontido que implementa w_{n+1}=g(w_{n}), guarda a evolução, calcula o erro relativo \dfrac{|w_{n+1}-w_{n}|}{|w_{n+1}|} a cada passo e plota a convergência. Basta copiar e colar num arquivo, por exemplo ponto_fixo_deflexao.m, e executar no MATLAB.
MATLAB (cole isto num .m):
% ponto_fixo_deflexao.m
clear; clc; close all;
% Dados (SI)
q = 28e3; % N/m
L = 7.5; % m
E0 = 32e9; % Pa
I = 6.2e-4; % m^4
alpha = 15; % 1/m^2beta = 0.85; % 1/m% Constante C
C = (5*q*L^4) / (384*E0*I);
% Função iterativa g
g = @(w) C*(1 + alpha*w.^2)./(1 - beta*w);
% Parâmetros de iteração
w0 = 0.06; % chute inicial (escolha dentro de I)
tol = 1e-7;
maxit = 1000;
% Armazenar iterações
w = zeros(maxit+1,1);
w(1) = w0;
err = zeros(maxit,1);
% Iteraçãofor k = 1:maxit
w(k+1) = g(w(k));
err(k) = abs(w(k+1)-w(k))/max(abs(w(k+1)),eps);
ifabs(w(k+1)-w(k)) < tol
fprintf('Convergiu em %d iteracoes.\n', k);
Niter = k;
break;
endend% Truncar vetores
w = w(1:Niter+1);
err = err(1:Niter);
% Mostrar evolução das iteraçõesdisp('k w_k (m) erro relativo')
for k = 1:Niter
fprintf('%3d %12.9f %12.3e\n', k-1, w(k), err(max(k,1)));
end
fprintf('%3d %12.9f (ultimo)\n', Niter, w(end));
% Gráfico de convergênciafigure;
subplot(2,1,1);
plot(0:Niter, w, '-o');
xlabel('Iteracao k');
ylabel('w_k (m)');
title('Evolucao das iteracoes (w_k)');
subplot(2,1,2);
semilogy(1:Niter, err, '-o');
xlabel('Iteracao k');
ylabel('Erro relativo');
title('Erro relativo por iteracao (escala semilog)');
grid on;
% Resultado final
w_final = w(end);
fprintf('Resultado final aproximado: w = %.9f m\n', w_final);
Notas de execução e interpretação:
O script imprime a sequência w_{k} e o erro relativo por iteração.
O gráfico superior mostra a evolução dos valores w_{k}; o gráfico inferior (semilog) mostra a diminuição do erro relativo, típico de convergência linear.
Se escolher w_{0} radicalmente diferente (por exemplo w_{0}=0{,}5) a iteração tenderá a uma das raízes (o método pode convergir para a outra raiz grande); por isso escolha um chute inicial coerente com a solução esperada (por exemplo w_{0}=0{,}06).
Passo 8
(g) Análise se a deflexão obtida atende ao critério normativo e implicações estruturais.
Resultado numérico obtido:
w \approx 0{,}0655229\\ \mathrm{m} \approx 65{,}52\\ \mathrm{mm}.
w \approx 65{,}52\\ \mathrm{mm} > 21{,}43\\ \mathrm{mm},
ou seja, a deflexão calculada excede claramente o limite normativo de serviço.
Implicações estruturais e interpretação:
A viga (tabuleiro) com as propriedades e carregamento dados não atende ao requisito de serviço: a flecha é aproximadamente três vezes maior do que o admissível pela norma.
Em termos práticos, isso significa desconforto visual para usuários, possíveis danos a elementos dependentes da rigidez (pavimento, instalações), e potencial aceleração do dano por fadiga/fissuração adicional do concreto armado.
Medidas típicas para corrigir isso incluem: aumentar a rigidez (maior I — seção mais profunda, reforço), aumentar o módulo efetivo (outro material/armação), reduzir esforços (reduzir cargas permanentes/variáveis), ou rever a concepção estrutural (menor vão, vigotas adicionais, pré-esforço, etc.).
Observação adicional: o modelo incorporou redução de rigidez via E_{\mathrm{ef}}(w)=E_{0}(1-\beta w). Mesmo com essa perda de rigidez, o cálculo converge para uma solução estável mas que é inaceitável para serviço; a raiz maior (~0,515 m) corresponde a um estado de deformação ainda mais severo (possível colapso local ou comportamento não físico do modelo linearizado), portanto a raiz pequena é a solução fisicamente relevante do ramo estável, mas ainda inaceitável para a norma.
Resposta
(a) (1-\beta w)w - C(1+\alpha w^{2})=0 com C=\dfrac{5 q L^{4}}{384 E_{0} I}\approx 0{,}0581410428\\ \mathrm{m}.
(b) g(w)=\dfrac{C(1+\alpha w^{2})}{1-\beta w}.
(c) Intervalo fisicamente admissível para serviço: [0,\\ L/350]=[0,\\\ 0{,}0214285714\\ \mathrm{m}]; positividade de E_{\mathrm{ef}} exige w<1/\beta\approx1{,}17647\\ \mathrm{m}. (Observação: não existe solução em [0,L/350] porque g(0)=C\approx0{,}05814>L/350.)
(d) No intervalo de trabalho escolhido I=[0,0{,}12] verifica-se \max_{w\in I}|g'(w)|\approx 0{,}3076<1, logo g é contração em I e o método do ponto fixo converge.
(e) Deflexão numérica (tolerância 10^{-7}): w\approx 0{,}0655229\\ \mathrm{m}.
(f) Código MATLAB fornecido no passo 6 (arquivo sugerido ponto_fixo_deflexao.m) — gera evolução das iterações, erro relativo e gráfico de convergência.
(g) A deflexão obtida não atende ao critério normativo (65{,}52\\ \mathrm{mm} > 21{,}43\\ \mathrm{mm}). Implicação: projeto deve ser revisto (aumentar rigidez, reduzir carregamentos ou alterar solução estrutural).