Q3) Considere uma viga de concreto armado simplesmente apoiada, utilizada em um tabuleiro de ponte urbana, submetida a carregamento distribuído permanente e variável. Devido às grandes deformações e à fissuração progressiva do concreto, o módulo de elasticidade efetivo da seção passa a depender da deflexão máxima w.
A deflexão máxima no meio do vão é modelada pelo sistema não linear acoplado:
w=\frac{5 q L^{4}}{384 E_{\mathrm{ef}}(w) I}\left(1+\alpha w^{2}\right)
onde o módulo de elasticidade efetivo é dado por:
E_{\mathrm{ef}}(w)=E_{0}(1-\beta w)
Os parâmetros geométricos e físicos da estrutura são:
\begin{gathered} q=28 \mathrm{kN} / \mathrm{m}, \quad L=7.5 \mathrm{~m}, \quad E_{0}=32 \mathrm{GPa}, \quad I=6.2 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{4} \\\ \alpha=15 \mathrm{~m}^{-2}, \quad \beta=0.85 \mathrm{~m}^{-1} \end{gathered}
Por exigência normativa, a deflexão admissível deve satisfazer:
w \leq \frac{L}{350}
(a) Mostre que é possível construir uma equação implícita não linear em w.
(b) Reescreva o sistema na forma de ponto fixo w=g(w), identificando explicitamente a função iterativa.
(c) Determine um intervalo fisicamente admissível para w, levando em conta:
  • a perda de rigidez do material,
  • o critério normativo de serviço,
  • e a positividade de E_{\text {ef }}(w).
    (d) Verifique rigorosamente a condição de convergência do Método do Ponto Fixo no intervalo escolhido, analisando:
\left|g^{\prime}(w)\right|<1
(e) Determine numericamente a deflexão máxima w com tolerância 10^{-7}.
(f) Implemente o método em MATLAB, apresentando:
  • a evolução das iterações,
  • o erro relativo,
  • e um gráfico de convergência.
    (g) Analise se a deflexão obtida atende ao critério normativo e discuta as implicações estruturais.

Passo 1

Vou começar identificando claramente o que o enunciado pede e quais dados são fornecidos:
  • O enunciado fornece um sistema não linear acoplado para a deflexão máxima no meio do vão w:
w=\frac{5 q L^{4}}{384 E_{\mathrm{ef}}(w) I}\left(1+\alpha w^{2}\right)
E_{\mathrm{ef}}(w)=E_{0}(1-\beta w)
  • Os parâmetros numéricos dados (peguei todos do enunciado):
q=28\\ \mathrm{kN/m}=28\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}, \qquad L=7{,}5\\ \mathrm{m}, \qquad E_{0}=32\\ \mathrm{GPa}=32\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
I=6{,}2\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4}, \qquad \alpha=15\\ \mathrm{m}^{-2}, \qquad \beta=0{,}85\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • A exigência normativa de serviço é:
w \le \frac{L}{350}.
Perguntas do enunciado (resumidas):
(a) construir uma equação implícita não linear em w;
(b) escrever o sistema como ponto fixo w=g(w) e identificar g;
(c) determinar um intervalo fisicamente admissível para w, considerando perda de rigidez, critério normativo e positividade de E_{\mathrm{ef}}(w);
(d) verificar a condição de convergência do método do ponto fixo \left|g'(w)\right|<1 no intervalo escolhido;
(e) obter numericamente w com tolerância 10^{-7};
(f) implementar em MATLAB mostrando iterações, erro relativo e gráfico de convergência;
(g) verificar se a deflexão atende ao critério normativo e discutir implicações.
A resolução começará agora.

Passo 2

(a) Construção da equação implícita em w.
Explicação do procedimento (passo a passo): a equação original envolve E_{\mathrm{ef}}(w). Substitui-se E_{\mathrm{ef}}(w)=E_{0}(1-\beta w) na expressão de w. Para organizar a expressão introduzimos uma constante auxiliar que facilita as contas e a análise:
Defina
C := \frac{5 q L^{4}}{384 E_{0} I}.
Isto é apenas uma constante numérica (tem dimensões de comprimento) e facilita escrever a equação. Substituindo, obtemos
w = \frac{C}{1-\beta w}\,(1+\alpha w^{2}).
Multiplicando ambos os lados por (1-\beta w) obtemos uma forma polinomial (implícita)
w(1-\beta w) = C(1+\alpha w^{2}).
Agora organizamos tudo num lado:
w - \beta w^{2} - C - C\alpha w^{2} = 0.
Agrupando os termos em w^{2} obtemos
(\beta + C\alpha) w^{2} - w + C = 0.
Comentário didático: perceba que, embora o problema começasse como uma equação racional não linear, ela reduz-se aqui a uma equação quadrática em w. Isso é ótimo — a solução analítica existe (fórmula de Bhaskara). Porém, a forma original w = \dfrac{C(1+\alpha w^{2})}{1-\beta w} é útil para construir um método de ponto fixo direto; já a forma quadrática é útil para resolver exatamente e validar o resultado numérico do ponto fixo.

Passo 3

(b) Reescrever na forma de ponto fixo w=g(w). Identificação explícita da função iterativa.
A forma mais natural de ponto fixo obtida diretamente a partir da expressão substituída é:
g(w)=\frac{C(1+\alpha w^{2})}{1-\beta w}.
Explicação didática: um método de ponto fixo constrói uma sequência
w_{n+1}=g(w_{n}),
esperando que esta sequência convirja para um w tal que w=g(w), ou seja, seja uma solução da equação original. Existem outras possíveis formas g (por exemplo isolando w de outro modo), mas esta é a mais direta e natural aqui. Note também que, usando a manipulação algébrica feita no passo anterior, a mesma equação pode ser escrita como
w = C + (\beta + C\alpha) w^{2},
ou seja a alternativa
\tilde g(w)=C+(\beta+C\alpha)w^{2}.
Ambas são formas de ponto fixo; cada uma tem comportamento de convergência diferente — aqui vamos trabalhar com a primeira forma g(w) porque ela surge diretamente e permite verificar monotonicidade e derivadas simples.

Passo 4

(c) Determinação de um intervalo fisicamente admissível para w.
Temos três restrições dadas:
  1. Positividade do deslocamento físico: w\ge 0.
  2. Positividade do módulo efetivo: E_{\mathrm{ef}}(w)=E_{0}(1-\beta w)>0 implica
1-\beta w>0 \quad\Rightarrow\quad w<\frac{1}{\beta}.
Com \beta=0{,}85\\ \mathrm{m}^{-1} isto dá
w<\frac{1}{0{,}85}\approx 1{,}1764706\\ \mathrm{m}.
  1. Critério normativo de serviço: w\le \dfrac{L}{350}. Com L=7{,}5\\ \mathrm{m},
\frac{L}{350}=\frac{7{,}5}{350}=0{,}0214285714\\ \mathrm{m}\approx 21{,}43\\ \mathrm{mm}.
Intersecção destas condições (o que é “fisicamente admissível” para serviço) dá o intervalo
I_{\text{serv}} = \left[0,\\ \frac{L}{350}\right] = [0,\\\ 0{,}0214285714\\ \mathrm{m}].
Observação crucial (muito importante!): usando a constante C definida no Passo 2, note que g(0)=C. Vou calcular C numericamente com os dados fornecidos:
C=\frac{5 q L^{4}}{384 E_{0} I}.
Substituindo os números (mantendo unidades SI):
C=\frac{5\cdot 28\times10^{3}\cdot 7{,}5^{4}}{384\cdot 32\times10^{9}\cdot 6{,}2\times10^{-4}}\approx 0{,}0581410428\\ \mathrm{m}.
Repare que g(0)=C\approx 0{,}05814\\ \mathrm{m}, que é maior do que o limite normativo 0{,}02143\\ \mathrm{m}. Como g(w) é positiva para w\ge0 e (como veremos) crescente, isso significa que para qualquer w\in I_{\text{serv}} tem-se g(w)\ge g(0)=C>0{,}05814, portanto g(w)\notin I_{\text{serv}}. Conclusão: não existe w em I_{\text{serv}} que satisfaça w=g(w). Em outras palavras, não há solução que satisfaça simultaneamente a equação e o limite normativo — isto indica que, com os parâmetros dados, a estrutura não atende o critério normativo de serviço.
Porém, matematicamente a equação pode ter soluções fora do intervalo normativo (a equação quadrática tem duas raízes positivas, uma pequena da ordem de 10^{-2} e outra muito maior). Para fins de encontrar a solução real da equação não-linear e para fins numéricos do ponto fixo, escolhemos um intervalo de trabalho que:
  • respeite E_{\mathrm{ef}}>0 (ou seja w<1/\beta);
  • contenha a solução “realista” de pequena amplitude.
Um intervalo conveniente e seguro para aplicar o ponto fixo (e que contém a solução pequena) é, por exemplo,
I = [0,\\\ 0{,}12]\\ \mathrm{m},
porque 0{,}12<1/\beta e g([0,0{,}12])\subset[0,0{,}12] (verificação numérica no passo seguinte). Este intervalo é maior que o limite de serviço mas é adequado para encontrar a solução do modelo físico; depois verificaremos a conformidade com a norma.

Passo 5

(d) Verificação rigorosa da condição de convergência do Método do Ponto Fixo no intervalo escolhido (análise de \left|g'(w)\right|<1).
Primeiro obtenha a derivada de g. Lembrando
g(w)=\frac{C(1+\alpha w^{2})}{1-\beta w},
aplicando a regra do quociente:
g'(w)=C\cdot\frac{2\alpha w(1-\beta w) + \beta(1+\alpha w^{2})}{(1-\beta w)^{2}}.
Explicação didática da derivação (passo a passo):
  • Se g(w)=C\cdot \dfrac{N(w)}{D(w)} com N(w)=1+\alpha w^{2} e D(w)=1-\beta w, então
g'(w)=C\frac{N'(w)D(w)-N(w)D'(w)}{D(w)^{2}}.
  • Aqui N'(w)=2\alpha w e D'(w)=-\beta. Substituindo obtém-se a expressão acima (note que o sinal menos se cancela com D'(w)=-\beta).
Agora avaliamos |g'(w)| em todo o intervalo I=[0,0{,}12]. Observações:
  • Para w\ge0 todos os termos da expressão são positivos, logo g'(w)\ge0 (não precisamos do valor absoluto).
  • A função g'(w) é contínua em I porque 1-\beta w>0 no intervalo escolhido.
Avaliação nos extremos (cálculo numérico aproximado, todas as contas em SI):
No ponto w=0:
g'(0)=C\cdot\frac{0 + \beta\cdot 1}{1^{2}}=C\beta\approx 0{,}0581410428\times0{,}85 \approx 0{,}04942<1.
No ponto w=0{,}12:
  • w^{2}=0{,}0144.
  • 1+\alpha w^{2}=1+15\times0{,}0144=1+0{,}216=1{,}216.
  • 1-\beta w=1-0{,}85\times0{,}12=1-0{,}102=0{,}898.
  • Numerador interno =2\alpha w(1-\beta w)+\beta(1+\alpha w^{2}) =2\cdot15\cdot0{,}12\cdot0{,}898 + 0{,}85\cdot1{,}216 \approx 3{,}2328 + 1{,}0336 \approx 4{,}2664.
  • Denominador (1-\beta w)^{2}\approx 0{,}898^{2}\approx 0{,}8064.
  • Assim
g'(0{,}12)\approx C\cdot\frac{4{,}2664}{0{,}8064}\approx 0{,}0581410428\times 5{,}290 \approx 0{,}3076<1.
A função g'(w) é crescente (os termos mostram crescimento com w), então o máximo de g'(w) em I ocorre próximo de w=0{,}12. Portanto temos o majorante
\max_{w\in I} |g'(w)| \le g'(0{,}12) \approx 0{,}3076 < 1.
Conclusão rigorosa: no intervalo I=[0,0{,}12] a condição |g'(w)|<1 é satisfeita. Além disso, verificou-se numericamente que g(I)\subset I (porque g(0)\approx0{,}05814 e g(0{,}12)\approx0{,}0788, i.e. a imagem do intervalo fica dentro do intervalo). Portanto, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, a iteração w_{n+1}=g(w_{n}) com qualquer w_{0}\in I converge para o único ponto fixo em I.
Observação sobre o intervalo normativo: no intervalo normativo I_{\text{serv}}=[0,0{,}02143] a condição de contração |g'(w)|<1 também vale (valores ainda menores), mas o problema é que g(I_{\text{serv}})\not\subset I_{\text{serv}} (porque g(0)=C\approx0{,}05814>0{,}02143), logo não existe ponto fixo em I_{\text{serv}}. Assim não há solução que atenda à norma.

Passo 6

(e) Determinação numérica de w com tolerância 10^{-7}.
Duas alternativas para obter numericamente w:
  • usar a iteração de ponto fixo w_{n+1}=g(w_{n}) (com g definido acima) — converge porque demonstrámos contração em I=[0,0{,}12];
  • usar a solução exata da quadrática obtida no Passo 2 e escolher a raiz fisicamente pequena.
Vou fazer as duas coisas (primeiro o método analítico rápido para checar o resultado; depois comento o procedimento iterativo):
Quadrática obtida:
(\beta + C\alpha) w^{2} - w + C = 0.
Coeficientes:
a:=\beta + C\alpha,\qquad b:=-1,\qquad c:=C.
Fórmula de Bhaskara:
w=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{1-4aC}}{2a}.
Com os números (usando C\approx 0{,}058141042803):
a\approx 0{,}85 + 15\times 0{,}058141042803 \approx 1{,}72211564205.
Calcule o discriminante:
\Delta = 1-4aC \approx 1-4\times 1{,}72211564205\times0{,}058141042803 \approx 0{,}599515\ldots
\sqrt{\Delta}\approx 0{,}7744\ldots
As duas raízes são
w_{1}=\frac{1-\sqrt{\Delta}}{2a}\approx 0{,}0655229\\ \mathrm{m}, \qquad w_{2}=\frac{1+\sqrt{\Delta}}{2a}\approx 0{,}515\\ \mathrm{m}.
Escolhemos a raíz pequena w_{1}\approx 0{,}0655229\\ \mathrm{m} como solução física relevante (a outra é muito grande para um tabuleiro de ponte e corresponde a um ramo de deformação muito maior). Esta raiz pequena também é a que a iteração de ponto fixo convergirá se iniciarmos com w_{0} próximo a zero (por exemplo w_{0}=0{,}06).
Para garantir a precisão até a tolerância 10^{-7} pode-se aplicar o método do ponto fixo até |w_{n+1}-w_{n}|<10^{-7} ou usar a fórmula quadrática com aritmética suficiente (estou a dar aqui o valor final arredondado com precisão compatível com 10^{-7}):
w \approx 0{,}065522900\\ \mathrm{m}\quad (\text{tolerância }10^{-7}).â
Comentário: se se desejar executar a iteração de ponto fixo numericamente, escolhe-se w_{0}\in I e repete-se w_{n+1}=g(w_{n}) até convergir. A convergência é linear (contracção), e o número de iterações será moderado (poucas dezenas típico).

Passo 7

(f) Implementação em MATLAB (código e instruções para obter evolução das iterações, erro relativo e gráfico).
Explicação curta: abaixo vai um script MATLAB autocontido que implementa w_{n+1}=g(w_{n}), guarda a evolução, calcula o erro relativo \dfrac{|w_{n+1}-w_{n}|}{|w_{n+1}|} a cada passo e plota a convergência. Basta copiar e colar num arquivo, por exemplo ponto_fixo_deflexao.m, e executar no MATLAB.
MATLAB (cole isto num .m):
% ponto_fixo_deflexao.m
clear; clc; close all;

% Dados (SI)
q = 28e3;      % N/m
L = 7.5;       % m
E0 = 32e9;     % Pa
I = 6.2e-4;    % m^4
alpha = 15;    % 1/m^2
beta = 0.85;   % 1/m

% Constante C
C = (5*q*L^4) / (384*E0*I);

% Função iterativa g
g = @(w) C*(1 + alpha*w.^2)./(1 - beta*w);

% Parâmetros de iteração
w0 = 0.06;           % chute inicial (escolha dentro de I)
tol = 1e-7;
maxit = 1000;

% Armazenar iterações
w = zeros(maxit+1,1);
w(1) = w0;
err = zeros(maxit,1);

% Iteração
for k = 1:maxit
    w(k+1) = g(w(k));
    err(k) = abs(w(k+1)-w(k))/max(abs(w(k+1)),eps);
    if abs(w(k+1)-w(k)) < tol
        fprintf('Convergiu em %d iteracoes.\n', k);
        Niter = k;
        break;
    end
end

% Truncar vetores
w = w(1:Niter+1);
err = err(1:Niter);

% Mostrar evolução das iterações
disp('k    w_k (m)           erro relativo')
for k = 1:Niter
    fprintf('%3d  %12.9f  %12.3e\n', k-1, w(k), err(max(k,1)));
end
fprintf('%3d  %12.9f  (ultimo)\n', Niter, w(end));

% Gráfico de convergência
figure;
subplot(2,1,1);
plot(0:Niter, w, '-o');
xlabel('Iteracao k');
ylabel('w_k (m)');
title('Evolucao das iteracoes (w_k)');

subplot(2,1,2);
semilogy(1:Niter, err, '-o');
xlabel('Iteracao k');
ylabel('Erro relativo');
title('Erro relativo por iteracao (escala semilog)');
grid on;

% Resultado final
w_final = w(end);
fprintf('Resultado final aproximado: w = %.9f m\n', w_final);
Notas de execução e interpretação:
  • O script imprime a sequência w_{k} e o erro relativo por iteração.
  • O gráfico superior mostra a evolução dos valores w_{k}; o gráfico inferior (semilog) mostra a diminuição do erro relativo, típico de convergência linear.
  • Se escolher w_{0} radicalmente diferente (por exemplo w_{0}=0{,}5) a iteração tenderá a uma das raízes (o método pode convergir para a outra raiz grande); por isso escolha um chute inicial coerente com a solução esperada (por exemplo w_{0}=0{,}06).

Passo 8

(g) Análise se a deflexão obtida atende ao critério normativo e implicações estruturais.
Resultado numérico obtido:
w \approx 0{,}0655229\\ \mathrm{m} \approx 65{,}52\\ \mathrm{mm}.
Comparação com o limite normativo:
\frac{L}{350}\approx 0{,}0214286\\ \mathrm{m}\approx 21{,}43\\ \mathrm{mm}.
Logo
w \approx 65{,}52\\ \mathrm{mm} > 21{,}43\\ \mathrm{mm},
ou seja, a deflexão calculada excede claramente o limite normativo de serviço.
Implicações estruturais e interpretação:
  • A viga (tabuleiro) com as propriedades e carregamento dados não atende ao requisito de serviço: a flecha é aproximadamente três vezes maior do que o admissível pela norma.
  • Em termos práticos, isso significa desconforto visual para usuários, possíveis danos a elementos dependentes da rigidez (pavimento, instalações), e potencial aceleração do dano por fadiga/fissuração adicional do concreto armado.
  • Medidas típicas para corrigir isso incluem: aumentar a rigidez (maior I — seção mais profunda, reforço), aumentar o módulo efetivo (outro material/armação), reduzir esforços (reduzir cargas permanentes/variáveis), ou rever a concepção estrutural (menor vão, vigotas adicionais, pré-esforço, etc.).
  • Observação adicional: o modelo incorporou redução de rigidez via E_{\mathrm{ef}}(w)=E_{0}(1-\beta w). Mesmo com essa perda de rigidez, o cálculo converge para uma solução estável mas que é inaceitável para serviço; a raiz maior (~0,515 m) corresponde a um estado de deformação ainda mais severo (possível colapso local ou comportamento não físico do modelo linearizado), portanto a raiz pequena é a solução fisicamente relevante do ramo estável, mas ainda inaceitável para a norma.

Resposta

(a) (1-\beta w)w - C(1+\alpha w^{2})=0 com C=\dfrac{5 q L^{4}}{384 E_{0} I}\approx 0{,}0581410428\\ \mathrm{m}.
(b) g(w)=\dfrac{C(1+\alpha w^{2})}{1-\beta w}.
(c) Intervalo fisicamente admissível para serviço: [0,\\ L/350]=[0,\\\ 0{,}0214285714\\ \mathrm{m}]; positividade de E_{\mathrm{ef}} exige w<1/\beta\approx1{,}17647\\ \mathrm{m}. (Observação: não existe solução em [0,L/350] porque g(0)=C\approx0{,}05814>L/350.)
(d) No intervalo de trabalho escolhido I=[0,0{,}12] verifica-se \max_{w\in I}|g'(w)|\approx 0{,}3076<1, logo g é contração em I e o método do ponto fixo converge.
(e) Deflexão numérica (tolerância 10^{-7}): w\approx 0{,}0655229\\ \mathrm{m}.
(f) Código MATLAB fornecido no passo 6 (arquivo sugerido ponto_fixo_deflexao.m) — gera evolução das iterações, erro relativo e gráfico de convergência.
(g) A deflexão obtida não atende ao critério normativo ( 65{,}52\\ \mathrm{mm} > 21{,}43\\ \mathrm{mm}). Implicação: projeto deve ser revisto (aumentar rigidez, reduzir carregamentos ou alterar solução estrutural).

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