A constante cinética da reação A(g) \rightharpoonup B(s) é k=6,0 \times 10^{-7} \mathrm{~s}^{-1}, em uma dada temperatura. Nesta temperatura, qual será o tempo de meia-vida de A ? Qual será a pressão, inicialmente 20,0 \mathrm{kPa}, após 20,0 s do início da reação? E em 5,0 min?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Constante cinética: k = 6,0\times10^{-7}\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Pressão inicial do gás A: P_0 = 20,0\\ \mathrm{kPa}.
  • Perguntas:
    1. Qual o tempo de meia-vida de A nessa temperatura?
    2. Qual será a pressão após 20,0\\ \mathrm{s} do início da reação?
    3. Qual será a pressão após 5,0\\ \mathrm{min} do início da reação?

Passo 2

Entendimento físico e hipótese necessária (explicação didática):
  • A reação é A(g)\to B(s). Como B é sólido, o número de mols de gás presente diminui quando A reage; com temperatura e volume constantes, a pressão do gás é proporcional ao número de mols de A (lei dos gases ideais: PV=nRT, com T e V constantes implica P\propto n).
  • Para uma reação de primeira ordem em A (constante de velocidade dada em \mathrm{s}^{-1} tipicamente indica primeira ordem), a equação diferencial é
\frac{d[A]}{dt} = -k\,[A],
onde [A] é a concentração (ou, aqui, qualquer grandeza proporcional à quantidade de A, por exemplo a pressão).

Passo 3

Integração da lei de velocidade (passo a passo matemático):
  • Separe variáveis e integre:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Integrando de t=0 (com [A]_0) até tempo t (com [A](t)):
\int_{[A]_0}^{[A](t)}\frac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t}k\,dt.
  • Isso resulta em
\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -k t.
  • Exponenciando,
[A](t) = [A]_0\,e^{-k t}.
Como P\propto [A], a mesma forma vale para a pressão do gás:
P(t) = P_0\,e^{-k t}.
Aqui:
  • k é a constante de velocidade ( \mathrm{s}^{-1}),
  • P_0 é a pressão inicial ( \mathrm{kPa}),
  • P(t) é a pressão no tempo t.

Passo 4

Fórmula da meia-vida para primeira ordem (derivação curta e significado):
  • A meia-vida t_{1/2} é o tempo em que [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}.
  • Usando [A](t) = [A]_0 e^{-k t}, impõe-se
\frac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}}.
  • Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}\quad\Rightarrow\quad t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}.
Observação: \ln 2 \approx 0,693147.

Passo 5

Cálculo numérico da meia-vida (mostrando contas):
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}=\frac{0,693147\ldots}{6,0\times10^{-7}\\ \mathrm{s}^{-1}}.
Fazendo a divisão:
t_{1/2}\approx 1,155\times10^{6}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para dias para ter uma noção prática:
1,155\times10^{6}\\ \mathrm{s}\div86400\\ \mathrm{s/dia}\approx 13,37\\ \mathrm{dias}.

Passo 6

Cálculo da pressão após 20,0\\ \mathrm{s}:
  • Use P(t)=P_0 e^{-k t} com P_0=20,0\\ \mathrm{kPa} e t=20,0\\ \mathrm{s}.
  • Primeiro calcule o expoente:
-k t = -(6,0\times10^{-7})(20,0) = -1,20\times10^{-5}.
  • Como o expoente é muito pequeno, e^{-1,20\times10^{-5}} pode ser calculado por expansão ou com uma calculadora; usando expansão de primeira ordem:
e^{-1,20\times10^{-5}}\approx 1 - 1,20\times10^{-5}=0,9999880\ldots
  • Portanto
P(20{,}0\\ \mathrm{s}) = 20{,}0\cdot e^{-1,20\times10^{-5}}\approx 20{,}0\cdot0{,}9999880\approx 19{,}9998\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Cálculo da pressão após 5{,}0\\ \mathrm{min}=300\\ \mathrm{s}:
  • Calcule o expoente:
-k t = -(6,0\times10^{-7})(300)= -1,80\times10^{-4}.
  • Aproximação exponencial de primeira ordem:
e^{-1,80\times10^{-4}}\approx 1 - 1,80\times10^{-4}=0{,}9998200\ldots
  • Então
P(300\\ \mathrm{s}) = 20{,}0\cdot e^{-1,80\times10^{-4}}\approx 20{,}0\cdot0{,}9998200\approx 19{,}9964\\ \mathrm{kPa}.

Passo 8

Interpretação curta (ânimo e conclusão prática):
  • A meia-vida é enorme (ordem de milhões de segundos, cerca de duas semanas), por isso em tempos curtos como 20\\ \mathrm{s} ou 5\\ \mathrm{min} a pressão praticamente não muda — as diminuições são de poucos milésimos de kPa. Isso explica os valores muito próximos de 20{,}0\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

t_{1/2}\approx 1,155\times10^{6}\\ \mathrm{s}\\ \approx 13{,}37\\ \mathrm{dias}
P(20{,}0\\ \mathrm{s})\approx 19{,}9998\\ \mathrm{kPa}
P(5{,}0\\ \mathrm{min})\approx 19{,}9964\\ \mathrm{kPa}