A constante cinética da reação
é
, em uma dada temperatura. Nesta temperatura, qual será o tempo de meia-vida de
? Qual será a pressão, inicialmente
, após 20,0 s do início da reação? E em 5,0 min?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
- Constante cinética:
. - Pressão inicial do gás
: . - Perguntas:
- Qual o tempo de meia-vida de
nessa temperatura? - Qual será a pressão após
do início da reação? - Qual será a pressão após
do início da reação?
- Qual o tempo de meia-vida de
Passo 2
Entendimento físico e hipótese necessária (explicação didática):
- A reação é
. Como é sólido, o número de mols de gás presente diminui quando reage; com temperatura e volume constantes, a pressão do gás é proporcional ao número de mols de (lei dos gases ideais: , com e constantes implica ). - Para uma reação de primeira ordem em
(constante de velocidade dada em tipicamente indica primeira ordem), a equação diferencial é
onde
é a concentração (ou, aqui, qualquer grandeza proporcional à quantidade de
, por exemplo a pressão).
Passo 3
Integração da lei de velocidade (passo a passo matemático):
- Separe variáveis e integre:
Integrando de
(com
) até tempo
(com
):
- Isso resulta em
- Exponenciando,
Como
, a mesma forma vale para a pressão do gás:
Aqui:
-
é a constante de velocidade ( ), -
é a pressão inicial ( ), -
é a pressão no tempo .
Passo 4
Fórmula da meia-vida para primeira ordem (derivação curta e significado):
- A meia-vida
é o tempo em que . - Usando
, impõe-se
- Tomando logaritmo natural:
Observação:
.
Passo 5
Cálculo numérico da meia-vida (mostrando contas):
Fazendo a divisão:
Convertendo para dias para ter uma noção prática:
Passo 6
Cálculo da pressão após
:
- Use
com e . - Primeiro calcule o expoente:
- Como o expoente é muito pequeno,
pode ser calculado por expansão ou com uma calculadora; usando expansão de primeira ordem:
- Portanto
Passo 7
Cálculo da pressão após
:
- Calcule o expoente:
- Aproximação exponencial de primeira ordem:
- Então
Passo 8
Interpretação curta (ânimo e conclusão prática):
- A meia-vida é enorme (ordem de milhões de segundos, cerca de duas semanas), por isso em tempos curtos como
ou a pressão praticamente não muda — as diminuições são de poucos milésimos de kPa. Isso explica os valores muito próximos de .