4- A constante de velocidade de primeira ordem para a decomposição de determinado inseticida em água a 12{ }^{\circ} \mathrm{C} é 1,45 ano ^{-1}. Certa quantidade desse inseticida é carregada pela água para um lago em 1^{\circ} de junho, levando a uma concentração de 5,0 \times 10^{-7} \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{3} de água. Suponha que a temperatura média
do lago seja 12^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual será a concentração inseticida em 1^{\circ} junho do ano seguinte?. (b) Quanto tempo levará para a concentração do inseticida cair para 3,0 \times 10^{-7} \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} ?. pág. 495.

Passo 1

O enunciado trata da decomposição de um inseticida em água obedecendo cinética de primeira ordem à temperatura constante de 12{ }^{\circ}\mathrm{C}. A constante de velocidade é k=1,45\\ \mathrm{ano}^{-1} e a concentração inicial em 1^{\circ} de junho é
C_0 = 5,0\times10^{-7}\\ \mathrm{g/cm}^3.
Pede-se
(a) a concentração após um ano t=1\\ \mathrm{ano};
(b) o tempo necessário para a concentração cair a 3,0\times10^{-7}\\ \mathrm{g/cm}^3.

Passo 2

Para cinética de primeira ordem vale
C(t)=C_0\,e^{-k\,t}.
(a) Substituindo t=1\\ \mathrm{ano}:
C(1)=5,0\times10^{-7}\,e^{-1,45\cdot1} =5,0\times10^{-7}\,e^{-1,45}.
Calculando e^{-1,45}\approx0,234, vem
C(1)\approx5,0\times10^{-7}\times0,234=1,17\times10^{-7}\\ \mathrm{g/cm}^3.

Passo 3

(b) Para achar t tal que C(t)=3,0\times10^{-7}, invertemos a fórmula:
3,0\times10^{-7}=5,0\times10^{-7}\,e^{-1,45\,t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-1,45\,t}=\frac{3,0}{5,0}=0,6
-1,45\,t=\ln(0,6) \quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{1}{1,45}\ln(0,6).
Calculando \ln(0,6)\approx-0,5108, obtemos
t\approx\frac{0,5108}{1,45}\approx0,352\\ \mathrm{ano}.
Convertendo para dias: 0,352\times365\approx129 dias.

Resposta

(a) 1,17\times10^{-7}\\ \mathrm{g/cm}^3
(b) 0,35\\ \mathrm{ano} (aprox. 129 dias)

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