Construa os gráficos das funções definidas em mathbb{R} :
y=-2 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
y = -2x^{2}
definida em \mathbb{R}. O conteúdo é estudo de funções quadráticas (parábolas) e vamos precisar identificar domínio, imagem, vértice, concavidade e alguns pontos para montar o esboço.

Passo 2

Identificamos domínio e imagem. Como o polinômio está definido para todo x\in\mathbb{R}, o domínio é \mathbb{R}.
O coeficiente de x^{2} é -2<0, logo a parábola abre para baixo e atinge valor máximo em seu vértice. Isso implica que a imagem (conjunto de valores de y) é
(-\infty,\,0].

Passo 3

Calculamos o vértice e a concavidade. Para y=-2x^{2} temos a derivada
y' = \frac{d}{dx}(-2x^{2}) = -4x.
Zerando y'=0 obtém-se x=0. Substituindo em y y(0)=0. Então o vértice é o ponto
(0,0)
e, por ter coeficiente de x^{2} negativo, a parábola é côncava para baixo.

Passo 4

Escolhemos alguns pontos simétricos em relação ao eixo y para guiar o esboço: \bullet Para x=-2, y=-2\cdot(-2)^{2}=-2\cdot4=-8. \bullet Para x=-1, y=-2\cdot(-1)^{2}=-2\cdot1=-2. \bullet Para x=0, y=0 (vértice). \bullet Para x=1, y=-2\cdot1^{2}=-2. \bullet Para x=2, y=-2\cdot2^{2}=-8.
Esses pontos formam pares (-2,-8), (-1,-2), (0,0), (1,-2), (2,-8).

Passo 5

Para montar o gráfico, trace os eixos x e y, marque o vértice em (0,0) e os pontos listados, lembrando que a parábola é simétrica em relação ao eixo y. Una esses pontos por uma curva suave voltada para baixo. O esboço resultante é uma parábola “esticada” verticalmente com fator 2 (mais “fina” que y=-x^{2}) e vértice em (0,0).

Resposta

O gráfico de y=-2x^{2} é uma parábola com:
– Domínio \mathbb{R}.
– Imagem (-\infty,0].
– Vértice em (0,0).
– Concavidade voltada para baixo.
– Passa por (-2,-8), (-1,-2), (1,-2) e (2,-8).

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