Construa os gráficos das funções definidas em mathbb{R} :
y=x^{2}-2 x

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
y = x^{2} - 2x
definida em \mathbb{R}. O conteúdo aqui é análise de uma parábola: precisamos encontrar a forma canônica (para achar o vértice), o eixo de simetria, os interceptos com os eixos e alguns pontos adicionais para esboçar a curva.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em
y = x^{2} - 2x
Para isso, observe que
x^{2}-2x = (x^{2}-2x+1)-1 = (x-1)^{2}-1.
Logo, em forma canônica temos
y = (x-1)^{2} - 1.

Passo 3

Da forma canônica identificamos:
  • Vértice em (1,-1), pois é o par (h,k) em (x-h)^{2}+k.
  • Eixo de simetria a reta x=1.

Passo 4

Interceptos com os eixos:
  • Com o eixo y: em x=0,
y = 0^{2} - 2\cdot0 = 0,
ponto (0,0).
  • Com o eixo x: resolvendo
x^{2}-2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-2)=0
x=0 e x=2, pontos (0,0) e (2,0).

Passo 5

Escolhendo mais dois pontos simétricos em relação a x=1, por exemplo x=-1 e x=3:
  • Para x=-1:
y = (-1)^{2} - 2(-1) = 1 + 2 = 3,
ponto (-1,3).
  • Para x=3:
y = 3^{2} - 2\cdot3 = 9 - 6 = 3,
ponto (3,3).
Com isso temos pontos-chave: (-1,3), (0,0), (1,-1), (2,0), (3,3). Basta plotar esses pontos num plano cartesiano, traçar o eixo de simetria x=1 e desenhar uma curva suave de concavidade para cima passando por eles.

Resposta

O gráfico é uma parábola com concavidade para cima, vértice em (1,-1), eixo de simetria x=1 e interceptos em (0,0) e (2,0).

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