Construa os gráficos das funções:
f(x)=\log x

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
f(x)=\log x
Aqui “ \log” é o logaritmo natural (base e). Para esboçar esse gráfico, vamos precisar conhecer:
  • Domínio e imagem de \log x.
  • Assíntotas.
  • Pontos notáveis da curva.
  • Comportamento de monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Determinar domínio, imagem e assíntota vertical.
– Como \log x só está definido quando x>0, o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}.
– O logaritmo natural varia sem limites de -\infty a +\infty, portanto a imagem é
(-\infty,\infty).
– Em x=0 a função não existe, e ao nos aproximarmos de 0^+ temos
\lim_{x\to0^+}\log x = -\infty,
logo há uma assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Marcar pontos importantes:
– Em x=1, \log1=0. Então o ponto \bigl(1,0\bigr) está no gráfico.
– Em x=e, \log e=1. Então \bigl(e,1\bigr) também pertence.
– Para um valor menor que 1, por exemplo x=\tfrac1e, temos \log\tfrac1e=-1, dando o ponto \bigl(\tfrac1e,-1\bigr).

Passo 4

Analisar monotonicidade e concavidade:
– Derivada
f'(x)=\frac{1}{x},
que é positiva para todo x>0. Logo \log x é estritamente crescente.
– Segunda derivada
f''(x)=-\frac{1}{x^2},
que é negativa para x>0. Isso significa que a curva é côncava para baixo.

Passo 5

Esboçar o gráfico a partir das informações:
  • Traçar a assíntota vertical x=0.
  • Marcar (1,0), (e,1), \bigl(\tfrac1e,-1\bigr).
  • Desenhar uma curva que vem de -\infty quando x\to0^+, cresce passando por esses pontos e segue subindo lentamente para +\infty quando x\to+\infty, sempre com concavidade para baixo.

Resposta

O gráfico de f(x)=\log x é uma curva que:
  • Existe apenas para x>0.
  • Tem assíntota vertical em x=0.
  • Passa por (1,0), (e,1), \bigl(\tfrac1e,-1\bigr).
  • É estritamente crescente e côncava para baixo.

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