Construa os gráficos das funções:
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
Aqui “
” é o logaritmo natural (base
). Para esboçar esse gráfico, vamos precisar conhecer:
- Domínio e imagem de
. - Assíntotas.
- Pontos notáveis da curva.
- Comportamento de monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Determinar domínio, imagem e assíntota vertical.
– Como só está definido quando
, o domínio é
– Como
– O logaritmo natural varia sem limites de
a
, portanto a imagem é
– Em
a função não existe, e ao nos aproximarmos de
temos
logo há uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Marcar pontos importantes:
– Em ,
. Então o ponto
está no gráfico.
– Em ,
. Então
também pertence.
– Para um valor menor que 1, por exemplo , temos
, dando o ponto
.
– Em
– Em
– Para um valor menor que 1, por exemplo
Passo 4
Analisar monotonicidade e concavidade:
– Derivada
– Derivada
que é positiva para todo
. Logo
é estritamente crescente.
– Segunda derivada
– Segunda derivada
que é negativa para
. Isso significa que a curva é côncava para baixo.
Passo 5
Esboçar o gráfico a partir das informações:
- Traçar a assíntota vertical
. - Marcar
, , . - Desenhar uma curva que vem de
quando , cresce passando por esses pontos e segue subindo lentamente para quando , sempre com concavidade para baixo.
Resposta
O gráfico de
é uma curva que:
- Existe apenas para
. - Tem assíntota vertical em
. - Passa por
, , . - É estritamente crescente e côncava para baixo.