Construa os seguintes AFDs para reconhecer as intersecção entre as linguagens solicitadas, todo os alfabetos são
:
tem pelo menos três “a” e pelo menos dois “b”}.
Passo 1
O enunciado pede: construir um AFD (determinístico) sobre o alfabeto
que reconheça a linguagem
Informações dadas:
- Alfabeto:
. - A condição que a palavra deve satisfazer é dupla: "pelo menos três
" E "pelo menos dois ".
O objetivo é construir um AFD que aceite exatamente as palavras que satisfazem ambas as condições ao mesmo tempo (intersecção das duas propriedades).
Passo 2
Ideia geral (sem pular etapas): uma forma direta é construir dois AFDs simples, um que conte
s até garantir “pelo menos três” e outro que conte
s até garantir “pelo menos dois”, e então usar o produto (construção por produto cartesiano) para obter um AFD que verifica as duas condições simultaneamente. Vou explicar cada parte com calma.
Primeiro, como representar “contar até um limite” num AFD:
- Para "pelo menos três
" não precisamos contar além de 3: basta ter estados que representem "vi 0 ", "vi 1 ", "vi 2 " e "vi 3 ou mais ". O estado “3 ou mais” é uma classe absorvente para contagens de . - Analogamente, para "pelo menos dois
" usamos estados "0 ", "1 " e "2 ou mais ".
Vou construir os dois AFDs pequenos explicitando estados e transições; isso é exatamente a técnica que você pode usar na prova.
Passo 3
Construção do AFD que checa "pelo menos três
":
Defina estados que representam quantas
s já apareceram (cortadas em 3+):
- Estados:
, onde significa "já vi ocorrências de " para , e significa "já vi 3 ou mais ". - Estado inicial:
. - Estados aceitação:
(porque aceitar quando já vimos pelo menos 3 ). - Regras de transição:
- Ao ler
: avanço a contagem de até saturar em 3, isto é, - Ao ler
: a quantidade de não muda:
- Ao ler
Explicando com exemplos: de
com
vou para
; de
com
vou para
; de
com
fico em
; qualquer
não altera o componente
.
Passo 4
Construção do AFD que checa "pelo menos dois
":
Defina estados que representam quantas
s já apareceram (cortadas em 2+):
- Estados:
, onde significa "já vi ocorrências de " para , e significa "já vi 2 ou mais ". - Estado inicial:
. - Estados aceitação:
. - Regras de transição:
- Ao ler
: - Ao ler
:
- Ao ler
Exemplo: de
com
vou a
; de
com
vou a
; depois fico em
com qualquer
;
s não afetam o contador de
.
Passo 5
Construção do AFD da intersecção via produto cartesiano (passo a passo):
Princípio: se temos dois AFDs determinísticos
e
, um AFD que reconhece
é o produto
onde a função de transição é aplicada componente a componente:
e os estados de aceitação são os pares cujo primeiro componente está em
e o segundo em
:
No nosso caso:
-
, . -
, . - O conjunto de estados do produto tem
pares: . - Estado inicial:
. - Estado(s) de aceitação: exatamente os pares onde já satisfaço ambas as condições, isto é
(porque significa ≥3 e significa ≥2 ).
Transição geral (regra compacta, fácil de aplicar na prova):
- Para todo
, ,
Explicação: ao ler
só aumenta a contagem de
(com saturação em 3), ao ler
só aumenta a contagem de
(com saturação em 2).
Passo 6
Vou dar um exemplo de execução para você ver que o autômato funciona (treinamento prático para a prova). Tome a palavra
.
- Começo em
. - Leio
: vou para . - Leio
: vou para . - Leio
: vou para . - Leio
: vou para . - Leio
: vou para . - Leio
: permaneço em .
Como terminei em
, que é estado de aceitação, a palavra é aceita. Isso corresponde ao fato intuitivo:
tem pelo menos três
e pelo menos dois
.
Passo 7
Observações para a prova (dicas rápidas e úteis):
- Em provas, desenhe os dois autômatos contadores (menores) e depois construa o produto mentalmente. Nomeie estados como
com em e em para ficar rápido. - A regra compacta com
é uma forma curta de escrever as transições; se o examinador pedir, você pode listar explicitamente os 12 estados e as 24 transições. - Minimizar o autômato não é necessário para responder corretamente, a não ser que peçam o menor AFD; a construção por produto já é correta e determinística.
Resposta
e, para todo
,
,