Construir o diagrama de dispersão das variáveis, identificando X e Y e descrevendo visualmente o tipo de relação existente.
Calcular o coeficiente de correlação de Pearson, indicando intensidade e interpretação no contexto do problema.
Ajustar o modelo de regressão linear simples, quando houver evidência de correlação, apresentando e interpretando os parâmetros da reta no contexto do problema.
Elaborar a tabela ANOVA da regressão, comparar o valor de F calculado com o F tabelado, e concluir se o modelo é estatisticamente significativo.
Realizar a análise dos resíduos, verificando homocedasticidade para avaliar a adequação do modelo.
Apresentar uma conclusão final contextualizada, explicando o que os resultados significam no fenômeno estudado
X 881212161620202424
Y 6861081412141216

Passo 1

O enunciado pede várias análises estatísticas sobre duas variáveis X e Y: diagrama de dispersão, cálculo do coeficiente de correlação de Pearson com interpretação, ajuste de regressão linear simples (se houver correlação), tabela ANOVA da regressão com comparação de F calculado e tabelado, análise dos resíduos (homocedasticidade) e conclusão final contextualizada.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • Valores de X: 8,\,8,\,12,\,12,\,16,\,16,\,20,\,20,\,24,\,24.
  • Valores de Y: 6,\,8,\,6,\,10,\,8,\,14,\,12,\,14,\,12,\,16.
O que vou responder (cada item será tratado passo a passo):
  • Construção do diagrama de dispersão (identificar X e Y e descrever visualmente a relação).
  • Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson r e interpretação da intensidade e sinal.
  • Ajuste da regressão linear simples (quando houver correlação), com interpretação de coeficiente angular e intercepto.
  • Elaboração da tabela ANOVA, cálculo de F e comparação com F tabelado (nível de significância \alpha=0{,}05 será usado).
  • Análise dos resíduos visando verificar homocedasticidade.
  • Conclusão final contextualizada sobre o fenômeno estudado.

Passo 2

Preparação e estatísticas básicas (explicação das fórmulas e cálculo dos primeiros resumos).
  • Número de observações: n=10.
  • Soma e médias: \sum X = 160,\qquad \bar{X}=\frac{\sum X}{n}=\frac{160}{10}=16.
\sum Y = 106,\qquad \bar{Y}=\frac{\sum Y}{n}=\frac{106}{10}=10{,}6.
Explicação didática: a média \bar{X} é o valor médio de X; \bar{Y} é a média de Y. Essas médias serão usadas para centralizar os dados e calcular variâncias e covariâncias.
Vou também calcular as somas de quadrados e a soma de produtos centrados:
  • Soma dos quadrados de X centrados:
    S_{xx}=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 = 320.
    Como cálculo prático: os X aparecem em pares (8,12,16,20,24), cada um duas vezes; por exemplo para 8 tem (8-16)^2=64 e multiplicado por 2 dá 128, etc., somando resulta 320.
  • Soma dos quadrados de Y centrados:
    S_{yy}=\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})^2 = 112{,}4.
    (Computei cada desvio Y_i-\bar{Y}, elevei ao quadrado e somei.)
  • Soma dos produtos centrados (covariância numeradora):
    S_{xy}=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}) = 152.
    (Isto mede conjuntamente como X e Y variam em relação às suas médias.)

Passo 3

Diagrama de dispersão e descrição visual da relação.
  • Como construir (passo prático para a prova): colocar X no eixo horizontal (abscissas) e Y no eixo vertical (ordenadas). Plotar os pontos (8,6), (8,8), (12,6),\dots,(24,16).
  • Observação visual (descritiva): os pontos mostram tendência crescente — conforme X aumenta, os valores de Y tendem a aumentar também (há duas observações para cada X, espalhadas acima e abaixo da reta que depois ajustaremos). Isso sugere correlação positiva entre X e Y.
  • Interpretação simples: visualmente parece haver uma relação linear positiva moderada a forte.

Passo 4

Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson r (fórmula, significado e cálculo).
  • Fórmula e interpretação:
    r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
    Explicação: r mede a força e o sentido da relação linear entre X e Y. Vai de -1 a +1. Valores próximos de \pm1 indicam relação linear forte; valores próximos de 0 indicam pouca ou nenhuma relação linear.
  • Cálculo numérico:
    r=\frac{152}{\sqrt{320\cdot 112{,}4}} \approx \frac{152}{\sqrt{35968}} \approx \frac{152}{189{,}64}\approx 0{,}801.
  • Interpretação no contexto: r\approx 0{,}80 indica uma correlação linear positiva forte. Em palavras: quando X aumenta, Y tende a aumentar de forma relativamente consistente. Como r>0, a relação é positiva; como r está perto de 0{,}8, a intensidade é considerada forte em muitos contextos aplicados.

Passo 5

Ajuste da regressão linear simples (explicação das fórmulas de mínimos quadrados e interpretação dos parâmetros).
  • Modelo: Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon. Nosso objetivo estima \beta_0 e \beta_1 por mínimos quadrados. Fórmulas dos estimadores:
    \hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}.
    Explicação: \hat{\beta}_1 é a inclinação (quanto, em média, Y muda quando X aumenta uma unidade). \hat{\beta}_0 é o intercepto (valor previsto de Y quando X=0; nem sempre tem interpretação prática dependendo do contexto).
  • Cálculo:
    \hat{\beta}_1 = \frac{152}{320}=0{,}475,
\hat{\beta}_0 = 10{,}6 - 0{,}475\cdot 16 = 10{,}6 - 7{,}6 = 3{,}0.
  • Equação da reta ajustada:
    \hat{Y}=3{,}0 + 0{,}475\,X.
  • Interpretação contextual:
    • Coeficiente angular \hat{\beta}_1=0{,}475: para cada aumento de 1 unidade em X, Y aumenta em média cerca de 0{,}475 unidades.
    • Intercepto \hat{\beta}_0=3{,}0: previsão de Y quando X=0 é 3{,}0 (interpretação prática depende se X=0 for um valor plausível no contexto).

Passo 6

Medidas de ajuste e interpretação (SST, SSR, SSE, R^2).
  • Definições rápidas:
    \text{SST}=S_{yy}=\sum (Y_i-\bar{Y})^2,\qquad \text{SSR}=\hat{\beta}_1 S_{xy},\qquad \text{SSE}=\text{SST}-\text{SSR}.
    Onde SST é a variabilidade total de Y, SSR é a variabilidade explicada pelo modelo, SSE é a variabilidade residual não explicada.
  • Cálculos numéricos:
    \text{SST}=112{,}4,\qquad \text{SSR}=0{,}475\cdot 152 = 72{,}2,\qquad \text{SSE}=112{,}4-72{,}2 = 40{,}2.
  • Coeficiente de determinação R^2:
    R^2=\frac{\text{SSR}}{\text{SST}}=\frac{72{,}2}{112{,}4}\approx 0{,}642.
    Interpretação: cerca de 64{,}2\% da variação total de Y é explicada pela variação linear em X. É um ajuste razoavelmente bom para dados aplicados.

Passo 7

Tabela ANOVA da regressão e teste F (explicação do teste e comparação com valor tabelado).
  • Tabela ANOVA (com graus de liberdade e quadrados médios):
    Fonte SQ (Soma de Quadrados) df MQ (Quadrado Médio) Estatística F
    Regressão \text{SSR}=72{,}2 1 \text{MSR}=\dfrac{72{,}2}{1}=72{,}2 \,F=\dfrac{\text{MSR}}{\text{MSE}}=\dfrac{72{,}2}{5{,}025}\approx 14{,}37
    Resíduos \text{SSE}=40{,}2 n-2=8 \text{MSE}=\dfrac{40{,}2}{8}=5{,}025
    Total \text{SST}=112{,}4 n-1=9
    (Expliquei como obter MSR e MSE: dividir soma de quadrados pelo df correspondente.)
  • Teste F:
    • Hipóteses: H_0\colon \beta_1=0 (nenhuma relação linear) vs H_a\colon \beta_1\neq 0.
    • Estatística calculada: F_{\text{calc}}\approx 14{,}37.
    • Valor crítico tabelado (nível \alpha=0{,}05, df (1,8)): F_{0{,}95;1,8}\approx 5{,}32.
    • Como F_{\text{calc}}(14{,}37) > F_{\text{tabela}}(5{,}32), rejeita-se H_0. Ou seja, há evidência estatisticamente significativa de que a inclinação \beta_1 é diferente de zero — o modelo linear é significativo.
  • Interpretação prática: existe evidência forte (p<0,05, de fato p bem menor) de relação linear entre X e Y.

Passo 8

Análise dos resíduos (verificação de pressuposto de homocedasticidade e comportamento dos resíduos).
  • Resíduos calculados ( e_i = Y_i - \hat{Y}_i ), com \hat{Y}_i = 3{,}0 + 0{,}475 X_i:
    \begin{array}{c|c|c} X_i & Y_i & e_i = Y_i - \hat{Y}_i\\hline 8 & 6 & -0{,}8\\\\ 8 & 8 & 1{,}2\\\\ 12 & 6 & -2{,}7\\\\ 12 & 10 & 1{,}3\\\\ 16 & 8 & -2{,}6\\\\ 16 & 14 & 3{,}4\\\\ 20 & 12 & -0{,}5\\\\ 20 & 14 & 1{,}5\\\\ 24 & 12 & -2{,}4\\\\ 24 & 16 & 1{,}6 \end{array}
  • O que procurar para homocedasticidade: ao plotar resíduos versus valores ajustados (ou versus X), espera-se que os resíduos se espalhem aproximadamente com variância constante, sem padrão em funil (aumentando ou diminuindo sistematicamente), nem padrão curvo (o que sugeriria não linearidade).
  • Observação dos resíduos (descrição): os resíduos alternam sinais (há tanto positivos quanto negativos) e não há um padrão claro de crescimento sistemático do tamanho do resíduo com X. Algumas variâncias locais (por X repetido) variam por causa do pequeno tamanho de grupo (cada X tem apenas 2 observações), o que torna as estimativas de variância por nível instáveis. Por exemplo, ao agrupar por X obtém-se variâncias amostrais com valores diferentes (2, 8, 18, 2, 8), mas isso pode ser resultado da pouca amostra por nível.
  • Conclusão prática sobre homocedasticidade: não há evidência clara de heterocedasticidade grosseira (nenhum padrão em funil óbvio) e os resíduos parecem centrados em zero. Dado o tamanho de amostra pequeno e a estrutura em pares, não é possível afirmar com absoluta certeza que a homocedasticidade se verifica perfeitamente, mas nada no gráfico-resíduo/valores-ajustados indica violação forte do pressuposto. Portanto, o modelo é aceitável quanto à homocedasticidade para fins práticos.

Passo 9

Outras verificações rápidas (normalidade dos resíduos e relevância prática).
  • Normalidade dos resíduos: com n=10 é difícil testar com grande poder; um histograma ou um QQ-plot dos resíduos ajudaria. Os resíduos aqui não mostram valores extremos além do esperado; portanto, suposição de normalidade aproximada é razoável para inferência (mas atenção: amostra pequena).
  • Relevância prática: R^2\approx 0{,}642 indica que o modelo explica cerca de 64{,}2\% da variação de Y; isso é relativamente alto em muitos contextos garantido que o efeito seja útil na prática.

Resposta

Diagrama de dispersão: X no eixo horizontal e Y no vertical; pontos (8,6),(8,8),(12,6),(12,10),(16,8),(16,14),(20,12),(20,14),(24,12),(24,16). Visualmente há relação linear positiva entre X e Y.
Coeficiente de correlação de Pearson: r\approx 0{,}801. Interpretação: correlação linear positiva forte — conforme X aumenta, Y tende a aumentar.
Regressão linear ajustada: \displaystyle \hat{Y}=3{,}0+0{,}475\,X. Interpretação: aumento em 1 unidade de X está associado a um aumento médio de 0{,}475 unidades em Y; quando X=0 a previsão é 3{,}0 (interpretação prática depende do contexto).
ANOVA da regressão e teste F:
  • \text{SST}=112{,}4,\\ \text{SSR}=72{,}2,\\ \text{SSE}=40{,}2.
  • df: regressão =1, resíduos =8, total =9.
  • \text{MSR}=72{,}2,\\ \text{MSE}=5{,}025.
  • F_{\text{calc}}=\dfrac{72{,}2}{5{,}025}\approx 14{,}37.
  • F_{0{,}95;1,8}\approx 5{,}32. Como F_{\text{calc}}>F_{\text{tabela}}, o modelo é estatisticamente significativo (rejeita-se \beta_1=0 a \alpha=0{,}05).
Análise dos resíduos (homocedasticidade): resíduos não mostram padrão em funil claro e estão alternando em torno de zero; não há evidência forte de heterocedasticidade. Dada a amostra pequena e pares por X, não se pode afirmar rigorosamente que a homocedasticidade é perfeita, mas ela é razoavelmente aceitável para este ajuste.
Conclusão final contextualizada: existe uma relação linear positiva e estatisticamente significativa entre X e Y. O modelo \hat{Y}=3{,}0+0{,}475X explica aproximadamente 64{,}2\% da variabilidade de Y e pode ser usado para previsões aproximadas dentro do intervalo observado de X. Os resíduos não indicam violações graves dos pressupostos do modelo, então as inferências feitas (como o teste F) são confiáveis em nível prático para estes dados.

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