Construir o diagrama de dispersão das variáveis, identificando X e Y e descrevendo visualmente o tipo de relação existente.
Calcular o coeficiente de correlação de Pearson, indicando intensidade e interpretação no contexto do problema.
Ajustar o modelo de regressão linear simples, quando houver evidência de correlação, apresentando e interpretando os parâmetros da reta no contexto do problema.
Elaborar a tabela ANOVA da regressão, comparar o valor de F calculado com o F tabelado, e concluir se o modelo é estatisticamente significativo.
Realizar a análise dos resíduos, verificando homocedasticidade para avaliar a adequação do modelo.
Apresentar uma conclusão final contextualizada, explicando o que os resultados significam no fenômeno estudado
X 881212161620202424
Y 6861081412141216
Calcular o coeficiente de correlação de Pearson, indicando intensidade e interpretação no contexto do problema.
Ajustar o modelo de regressão linear simples, quando houver evidência de correlação, apresentando e interpretando os parâmetros da reta no contexto do problema.
Elaborar a tabela ANOVA da regressão, comparar o valor de F calculado com o F tabelado, e concluir se o modelo é estatisticamente significativo.
Realizar a análise dos resíduos, verificando homocedasticidade para avaliar a adequação do modelo.
Apresentar uma conclusão final contextualizada, explicando o que os resultados significam no fenômeno estudado
Y 6861081412141216
Passo 1
O enunciado pede várias análises estatísticas sobre duas variáveis
e
: diagrama de dispersão, cálculo do coeficiente de correlação de Pearson com interpretação, ajuste de regressão linear simples (se houver correlação), tabela ANOVA da regressão com comparação de
calculado e tabelado, análise dos resíduos (homocedasticidade) e conclusão final contextualizada.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
- Valores de
: . - Valores de
: .
O que vou responder (cada item será tratado passo a passo):
- Construção do diagrama de dispersão (identificar
e e descrever visualmente a relação). - Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson
e interpretação da intensidade e sinal. - Ajuste da regressão linear simples (quando houver correlação), com interpretação de coeficiente angular e intercepto.
- Elaboração da tabela ANOVA, cálculo de
e comparação com tabelado (nível de significância será usado). - Análise dos resíduos visando verificar homocedasticidade.
- Conclusão final contextualizada sobre o fenômeno estudado.
Passo 2
Preparação e estatísticas básicas (explicação das fórmulas e cálculo dos primeiros resumos).
- Número de observações:
. - Soma e médias:
Explicação didática: a média
é o valor médio de
;
é a média de
. Essas médias serão usadas para centralizar os dados e calcular variâncias e covariâncias.
Vou também calcular as somas de quadrados e a soma de produtos centrados:
-
Soma dos quadrados de
centrados: Como cálculo prático: osaparecem em pares (8,12,16,20,24), cada um duas vezes; por exemplo para tem e multiplicado por 2 dá , etc., somando resulta . -
Soma dos quadrados de
centrados: (Computei cada desvio, elevei ao quadrado e somei.) -
Soma dos produtos centrados (covariância numeradora):(Isto mede conjuntamente como
e variam em relação às suas médias.)
Passo 3
Diagrama de dispersão e descrição visual da relação.
- Como construir (passo prático para a prova): colocar
no eixo horizontal (abscissas) e no eixo vertical (ordenadas). Plotar os pontos . - Observação visual (descritiva): os pontos mostram tendência crescente — conforme
aumenta, os valores de tendem a aumentar também (há duas observações para cada , espalhadas acima e abaixo da reta que depois ajustaremos). Isso sugere correlação positiva entre e . - Interpretação simples: visualmente parece haver uma relação linear positiva moderada a forte.
Passo 4
Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson
(fórmula, significado e cálculo).
-
Fórmula e interpretação:Explicação:
mede a força e o sentido da relação linear entre e . Vai de a . Valores próximos de indicam relação linear forte; valores próximos de indicam pouca ou nenhuma relação linear. -
Cálculo numérico:
-
Interpretação no contexto:
indica uma correlação linear positiva forte. Em palavras: quando aumenta, tende a aumentar de forma relativamente consistente. Como , a relação é positiva; como está perto de , a intensidade é considerada forte em muitos contextos aplicados.
Passo 5
Ajuste da regressão linear simples (explicação das fórmulas de mínimos quadrados e interpretação dos parâmetros).
-
Modelo:
. Nosso objetivo estima e por mínimos quadrados. Fórmulas dos estimadores: Explicação:é a inclinação (quanto, em média, muda quando aumenta uma unidade). é o intercepto (valor previsto de quando ; nem sempre tem interpretação prática dependendo do contexto). -
Cálculo:
-
Equação da reta ajustada:
-
Interpretação contextual:
- Coeficiente angular
: para cada aumento de unidade em , aumenta em média cerca de unidades. - Intercepto
: previsão de quando é (interpretação prática depende se for um valor plausível no contexto).
- Coeficiente angular
Passo 6
Medidas de ajuste e interpretação (SST, SSR, SSE,
).
-
Definições rápidas:Onde SST é a variabilidade total de
, SSR é a variabilidade explicada pelo modelo, SSE é a variabilidade residual não explicada. -
Cálculos numéricos:
-
Coeficiente de determinação
: Interpretação: cerca deda variação total de é explicada pela variação linear em . É um ajuste razoavelmente bom para dados aplicados.
Passo 7
Tabela ANOVA da regressão e teste F (explicação do teste e comparação com valor tabelado).
-
Tabela ANOVA (com graus de liberdade e quadrados médios):
Fonte SQ (Soma de Quadrados) df MQ (Quadrado Médio) Estatística F Regressão Resíduos Total (Expliquei como obter MSR e MSE: dividir soma de quadrados pelo df correspondente.) -
Teste
: - Hipóteses:
(nenhuma relação linear) vs . - Estatística calculada:
. - Valor crítico tabelado (nível
, df ): . - Como
, rejeita-se . Ou seja, há evidência estatisticamente significativa de que a inclinação é diferente de zero — o modelo linear é significativo.
- Hipóteses:
-
Interpretação prática: existe evidência forte (p<0,05, de fato p bem menor) de relação linear entre
e .
Passo 8
Análise dos resíduos (verificação de pressuposto de homocedasticidade e comportamento dos resíduos).
-
Resíduos calculados (
), com : -
O que procurar para homocedasticidade: ao plotar resíduos versus valores ajustados (ou versus
), espera-se que os resíduos se espalhem aproximadamente com variância constante, sem padrão em funil (aumentando ou diminuindo sistematicamente), nem padrão curvo (o que sugeriria não linearidade). -
Observação dos resíduos (descrição): os resíduos alternam sinais (há tanto positivos quanto negativos) e não há um padrão claro de crescimento sistemático do tamanho do resíduo com
. Algumas variâncias locais (por repetido) variam por causa do pequeno tamanho de grupo (cada tem apenas 2 observações), o que torna as estimativas de variância por nível instáveis. Por exemplo, ao agrupar por obtém-se variâncias amostrais com valores diferentes (2, 8, 18, 2, 8), mas isso pode ser resultado da pouca amostra por nível. -
Conclusão prática sobre homocedasticidade: não há evidência clara de heterocedasticidade grosseira (nenhum padrão em funil óbvio) e os resíduos parecem centrados em zero. Dado o tamanho de amostra pequeno e a estrutura em pares, não é possível afirmar com absoluta certeza que a homocedasticidade se verifica perfeitamente, mas nada no gráfico-resíduo/valores-ajustados indica violação forte do pressuposto. Portanto, o modelo é aceitável quanto à homocedasticidade para fins práticos.
Passo 9
Outras verificações rápidas (normalidade dos resíduos e relevância prática).
- Normalidade dos resíduos: com
é difícil testar com grande poder; um histograma ou um QQ-plot dos resíduos ajudaria. Os resíduos aqui não mostram valores extremos além do esperado; portanto, suposição de normalidade aproximada é razoável para inferência (mas atenção: amostra pequena). - Relevância prática:
indica que o modelo explica cerca de da variação de ; isso é relativamente alto em muitos contextos garantido que o efeito seja útil na prática.
Resposta
Diagrama de dispersão:
no eixo horizontal e
no vertical; pontos
. Visualmente há relação linear positiva entre
e
.
Coeficiente de correlação de Pearson:
. Interpretação: correlação linear positiva forte — conforme
aumenta,
tende a aumentar.
Regressão linear ajustada:
. Interpretação: aumento em
unidade de
está associado a um aumento médio de
unidades em
; quando
a previsão é
(interpretação prática depende do contexto).
ANOVA da regressão e teste
:
-
- df: regressão
, resíduos , total . -
-
-
. Como , o modelo é estatisticamente significativo (rejeita-se a ).
Análise dos resíduos (homocedasticidade): resíduos não mostram padrão em funil claro e estão alternando em torno de zero; não há evidência forte de heterocedasticidade. Dada a amostra pequena e pares por
, não se pode afirmar rigorosamente que a homocedasticidade é perfeita, mas ela é razoavelmente aceitável para este ajuste.
Conclusão final contextualizada: existe uma relação linear positiva e estatisticamente significativa entre
e
. O modelo
explica aproximadamente
da variabilidade de
e pode ser usado para previsões aproximadas dentro do intervalo observado de
. Os resíduos não indicam violações graves dos pressupostos do modelo, então as inferências feitas (como o teste
) são confiáveis em nível prático para estes dados.